Suite numérique et géométrique


  • S

    Bonjour,
    Je suis en terminale S et je me permet de poster ce nouveau sujet car j'ai un exercice de maths à traiter dont le sujet est :

    On considère la suite numérique (Un(U_n(Un) définie par U0U_0U0 = 1 et ∀ n ∈ N, 2Un+12U_{n+1}2Un+1= UnU_nUn -1

    1- Calculer les 5 premiers termes de la suite : J'ai résolu cette question et j'ai obtenu : U1U_1U1 = 0 , U2U_2U2 = -1/2 , U3U_3U3 = -3/4 , U4U_4U4 = -7/8 et U5U_5U5 = -15/16.

    2- Soit (Vn) la suite numérique définie par : ∀n∈N, VVV_n=Un=U_n=Un+a
    a ° Déterminer le nombre réel a de façon que la suite (Vn) soit une suite géométrique.
    b ° En déduire les valeurs de Vn et Un en fonction de n
    c ° Déterminer la limite de la suite (Un) en +∞
    d ° Trouver le plus petit entier positif n tel que UnU_nUn +1 < 10^-4

    3- Calculer Sn = ∑ Uk pour k allant de 0 à n. En déduire la limite de Sn / n quand n tend vers +∞.

    Je vous demande de l'aide car je n'ai pas réussi pour la question 2.
    En vous remerciant


  • M

    Bonjour,
    Calcule Vn+1V_{n+1}Vn+1 en fonction de UnU_nUn.
    Remplace UnU_nUn par VnV_nVn - a.
    Achève les calculs pour obtenir une suite géométrique.


  • S

    Merci de votre réponse
    Donc si j'ai bien compris je dois faire :
    Vn+1V_{n+1}Vn+1= Un+1U_{n+1}Un+1+a

    On sait que 2U2U2U_{n+1}=Un=U_n=Un+1

    Donc VVV_{n+1}=(Un=(U_n=(Un-1) / 2 + a


  • M

    Oui.
    Continue en remplaçant UnU_nUn par VnV_nVn - a (puisque VnV_nVn = UnU_nUn + a)


  • S

    J'ai bien compris ce que vous me dites de faire, simplement je ne comprends pas trop pourquoi, en remplaçant j'obtiens :

    Vn+1V_{n+1}Vn+1= (Vn(V_n(Vn+a-1) /2
    Mais maintenant je ne vois pas trop ce qu'il faut que je fasse là est mon problème en faite..


  • M

    Isole VnV_nVn :
    Vn+1V_{n+1}Vn+1 = (1/2)Vn(1/2)V_n(1/2)Vn + (a-1)/2
    Autrement dit, la première partie du travail a consisté à exprimer Vn+1V_{n+1}Vn+1 en fonction de VnV_nVn.
    Mais ensuite, on souhaite que cette suite soit géométrique, donc que Vn+1V_{n+1}Vn+1 soit de la forme Vn+1V_{n+1}Vn+1 = k.VnV_nVn
    Tu as deviné la valeur de k, mais il y a des termes derrière qui doivent disparaître : pour quelle valeur de a ?


  • S

    Merci beaucoup
    Ce qui fait que lorsque a = 1 on a :

    1-1 /2 = 0/2 = 0 ?
    Donc la valeur de a pour laquelle la suite ( VnV_nVn) est géométrique est 1 ?


  • M

    Oui, et dans ce cas, Vn+1V_{n+1}Vn+1 = (1/2)Vn(1/2)V_n(1/2)Vn
    Tu dois pouvoir faire la suite de la question 2 sans problème.
    Donne tes réponses si tu souhaites qu'on vérifie.


  • S

    J'ai donc obtenu :

    vvv_n=v0=v_0=v0×qnq^nqn
    Donc vnv_nvn=2×(1/2)n(1/2)^n(1/2)n

    unu_nun=2×(1/2)n(1/2)^n(1/2)n -1

    c° lim (un(u_n(un)=-1

    d° je ne vois pas trop ce que je peux faire comme programmation


  • M

    Citation
    (1/2)n(1/2)^n(1/2)nQue l'on peut écrire 1/2n−11/2^{n-1}1/2n1

    Pour la d), c'est équivalent à VnV_nVn < 10−410^{-4}104
    Donc 2n−12^{n-1}2n1 > 10410^4104
    Utillise les logarithmes des deux membres.


  • S

    Je n'ai pas vu les logarithmes encore,
    Je l'ai simplement écrit de la façon dont je l'ai apprise en cours pour 2×(1/2)n(1/2)^n(1/2)n


  • M

    (1/2)n(1/2)^n(1/2)n = 2/2n2/2^n2/2n (car 1n1^n1n = 1)
    donc = 1/2n−11/2^{n-1}1/2n1 (simples règles sur les puissances).

    Sans le logarithme, je ne vois pas vraiment comment t'expliquer.
    Je peux juste te donner les indications suivantes : avec la calculatrice, calcule 2n−12^{n-1}2n1 pour n = 3,4,5 ... jusqu'à ce que le résultat dépasse 10410^4104
    Tu peux évidemment le programmer, mais même à la main ce n'est pas très long.


  • S

    Je vous remercie pour toutes ces indications, et cette précieuse aide, qui m'a été extremement utile.
    Bonne soirée


  • M

    De rien.
    Bon travail.


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