Matrices



  • Bonjour ! J'aurai besoin d'aide pour mon execice qui est le suivant :

    On considère les matrices A = 1amp;0amp;0 8amp;0amp;8 9amp;0amp;8\begin{matrix} -1 &0 &0 \ -8 & 0 &-8 \ 9 & 0 & 8 \end{matrix}, P=(1amp;0amp;0 0amp;1amp;1 1amp;0amp;1)\begin{pmatrix} 1 &0 &0 \ 0 &1 &-1 \ -1 & 0& 1 \end{pmatrix} et Q=(1amp;0amp;0 1amp;1amp;1 1amp;0amp;1)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\ 1 & 1 &1 \ 1 &0 &1 \end{pmatrix}.

    1. Vérifier que les matrices P et Q sont inverses l'une de l'autre. C'est Ok.
    2. On définit la matrice B=Q×A×P. Calculer B et exprimer BnB^n en fonction de n.
      J'ai trouvé B=(1amp;0amp;0 0amp;0amp;0 0amp;0amp;8)\begin{pmatrix} -1 &0 &0 \ 0 & 0 & 0\ 0& 0 & 8 \end{pmatrix}. Est ce que BnB^n=(1namp;0amp;0 0amp;0amp;0 0amp;0amp;8n)\begin{pmatrix} -1^{n} & 0 &0 \ 0& 0 &0 \ 0 & 0 &8^{n} \end{pmatrix} ?

    3)a) Montrer que pour tout entier naturel n : AnA^n=P×BnB^n×Q.

    J'ai fait : B=Q×A×P donc A=P1A=P^{-1}×B×Q1Q^{-1}
    or P×Q=I avec P1P^{-1}=Q et Q×P=I avec Q1Q^{-1}=P. Donc A=P×B×Q.
    Et là je sais pas comment continuer :$

    3)b) Calculer AnA^n pour tout entier naturel n. J'ai trouvé : (1namp;0amp;0 8namp;0amp;8n 9namp;0amp;8n)\begin{pmatrix} -1^{n} & 0 & 0\ 8^{n} & 0 &8^{n} \ 9^{n} & 0 &8^{n} \end{pmatrix}

    Voilà 🙂


  • Modérateurs

    Bonjour,

    1. B est bon

    BnB^n est bon car B est une matrice diagonale.

    Remarque : mets des parenthèses autour de -1 : (1)n(-1)^n

    3)a) Oui pour A.

    Pour AnA^n la matrice n'est pas une matrice diagonale , donc ta réponse est mauvaise.

    Pour la démonstration demandée , fais une récurrence.

    Piste pour la transmission ( ou hérédité - je ne sais pas comment dit ton professeur...)

    Tu supposes $\text{a^n=p \times b^n \times q$

    $\text{a^{n+1}=a \times a^n=(p \times b \times q)\times (p \times b^n \times q$

    Associativité de la multiplication :

    $\text{a^{n+1}=a \times a^n=(p \times b) \times( q\times p )\times (b^n \times q)$

    $\text{a^{n+1}=(p \times b) \times (b^n \times q)$

    $\text{a^{n+1}=p \times (b \times b^n) \times q$

    $\text{a^{n+1}=p \times b^{n+1} \times q$

    CQFD

    3)b) Vu que tu as la valeur de A , de BnB^n et de Q , tu calcules AnA^n avec la formule démontrée en 3)a)


Se connecter pour répondre
 

Découvre aussi nos cours et fiches méthode par classe

Les cours pour chaque niveau

Progresse en maths avec Schoolmouv

Apprends, révise et progresse avec Schoolmouv

Encore plus de réponses par ici

Il semble que votre connexion ait été perdue, veuillez patienter pendant que nous vous re-connectons.