Calcul d'une longueur en utilisant cosinus et Pythagore


  • Y

    Bonjour, pouvez vousm'aidez a cette exercice. RST est un triangle rectangle en S tel que RTS=59° et RS=19 cm. Calculer la longueur ST et donner le resultat arrondi au mm pres. Notre professeur a dit d'utiliser cosinus et pythagore mais je ne sais pas comment faire. Merci a ceux qui m'aideront.


  • mtschoon

    Bonsoir,

    Piste si tu dois utiliser cosinus et théorème de Pythagore ( il y avait bien plus simple !)

    cos⁡str^=tstr\cos \widehat{str}=\frac{ts}{tr}cosstr=trts

    L'angle étant en degrés :

    cos⁡59=tstr\cos 59=\frac{ts}{tr}cos59=trts

    En élevant au carré ( pour utiliser le thérème de Pythagore )

    cos⁡259=ts2tr2\cos^2 59=\frac{ts^2}{tr^2}cos259=tr2ts2

    cos⁡259=ts2ts2+sr2\cos^2 59=\frac{ts^2}{ts^2+sr^2}cos259=ts2+sr2ts2

    En faisant les produits en croix :

    cos259(ts2+sr2)=ts2cos^259(ts^2+sr^2)=ts^2cos259(ts2+sr2)=ts2

    En développant :

    ts2cos259+sr2cos259=ts2ts^2cos^259+sr^2cos^259=ts^2ts2cos259+sr2cos259=ts2

    En transposant :

    ts2cos259−ts2=−sr2cos259ts^2cos^259-ts^2=-sr^2cos^259ts2cos259ts2=sr2cos259

    Il te reste à mettre TS² en facteur dans le membre de gauche , obtenir TS² puis prendre la racine carrée pour obtenir TS

    ( Sauf erreur , tu dois trouver TS≈11,4 cm)


  • Y

    Daccord merci donc sa fait cos²59(TS²+19²)=TS²
    Mais je ne sais pas comment trouver TS²


  • mtschoon

    C'est TS que tu cherches , alors c'est TS² qu'il faut mettre en facteur et tu remplaces SR par sa valeur

    ts2(cos259−1)=−sr2cos259ts^2(cos^259-1)=-sr^2cos^259ts2(cos2591)=sr2cos259


  • Y

    Donc sa fait TS²(cos² 59-1) =-19² co²s²59 TS²(cos² 59-1) = -361 cos²59


  • mtschoon

    Il faut continuer :

    ts2=−361cos259cos259−1ts^2=\frac{-361cos^259}{cos^259-1}ts2=cos2591361cos259

    ts2=...ts^2=...ts2=...

    ts=...ts=...ts=...


  • Y

    Je ne sais pas comment calculer cos²59, je sais faire cos 59 mais pas au carre


  • mtschoon

    J'ignore comment fonctionne ta calculette...

    Si tu n'a pas la touche "carré" , tu peux faire cos 59 x cos 59 ≈ 0.2652

    Remarque : la méthode demandée avec le théorème de Pythagore est très lourde ! Je suis surprise que ton professeur te l'ai demandée.

    Il y a des méthodes beaucoup plus rapides qui évitent cette élévation au carré .

    Je t'en indique deux.

    Si tu connais la définition de TANGENTE, c'est immédiat :

    $tan 59=\frac{sr}{ts}=\frac{19}{{sr}$ donc $\fbox{ts=\frac{19}{tan 59}} \$

    Ou bien , en prenant l'angle complémentaire , tu trouves ts=19tan31\fbox{ts=19tan31}ts=19tan31

    Si tu ne connais que les COSINUS , SANS utiliser le théorème de Pythagore, c'est presque immédiat :

    cos⁡59=tstr\cos 59=\frac{ts}{tr}cos59=trts donc ts=trcos⁡59ts=tr\cos 59ts=trcos59

    Pour calculer TS sans le théorème de Pythagore , en utilisant

    str^=90−59=31\widehat{str}=90-59=31str=9059=31 ( en degrés )

    cos⁡31=srtr=19tr\cos 31=\frac{sr}{tr}=\frac{19}{tr}cos31=trsr=tr19 donc tr=19cos31tr=\frac{19}{cos31}tr=cos3119

    Donc :$\fbox{ ts=\frac{19}{cos31}\times \cos 59}$

    C'est tout de même plus facile que d'utiliser le théorème de Pythagore !


  • Y

    Oui mais nous avons pas encore vu le chapitre de tangente, esceque tu pourrais maider a calculer -361cos²59/ cos²59-1 car je trouve un resultat tres surprenant qui est de 360


  • mtschoon

    La méthode 2) que je t'indique n'utilise que les cosinus ( mais sans Pythagore)

    Mais bon , s'il faut impérativement du Pythagore , utilise Pythagore .

    Pour le calcul :

    cos259≈0.2652cos^2 59 \approx 0.2652cos2590.2652

    ts2≈−361×0.26520.2652−1≈130.29ts^2 \approx \frac{-361 \times 0.2652}{0.2652-1} \approx 130.29ts20.26521361×0.2652130.29

    Il te reste à prendre la racine carrée pour avoir TS ( mais j'insiste : cette méthode me plait guère...)


  • Y

    Oui je trouve cette methode plus longue et difficile. Faut il faire √130,29 ? Car quand je fais cela je trouve 1,000467442


  • Y

    Je vais suivre la methode de cosinus sans pythagore comme tu as marque je comprend mieux. Merci beaucoup de m'avoir aider et de m'avoir apris de choses.


  • mtschoon

    Attention à ton calcul ! 130.29≈11.4\sqrt{130.29} \approx 11.4130.2911.4

    Si Pythagore n'est finalement pas imposé , je te conseille effectivement la méthode de "cosinus sans Pythagore" ( en attendant de voir la "méthode tangente" ) et tu trouveras évidemment 11.4 cm comme valeur approchée.

    Bon DM !


  • Y

    Oui jai bien trouve ce resultat. Merci


  • mtschoon

    De rien.

    A+


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