Trouver la primitive d'une fonction en utilisant les intégrales

Bonjours, j'ai actuellement un exercice à faire mais je suis bloqué

Voici l'éxercice:

Soit n un entier naturel non nul. On nomme fn la fonction définie sur [0;+∞[ par:
fn(x) $ln(1+x^n$ ) et on pose :

In = ∫ fn(x)dx En bas de l'intégrale on a 0 et en haut on a 1, de 0 à 1 enfaite.

Dans cette question on étudie le cas de n=1
a. Démontrer que la fonction F1 définie sur [0;+∞[ par: F1(x) = x ln (1+x) - x + ln(1+x) est une primitive de la fonction f1 sur [0;+∞[
b. En déduire la valeur exacte de $I_1$

Mon problème est que je bloque sur ces deux questions
Pour répondre à la question a. j'ai eu dans l'idée d'utilisé le théorème apprit en cours et qui dit, je cite: Si f est continu et positive sur I=[a;b] ; la fonction F défini sur I par F(x) = ∫ f(t)dt (en allant de a vers x) est dérivable sur I et F'=f. On dit que F est une primitive de f sur I

Ma première idée était donc de montrer que ma fonction fn est continu et positive pour justifier qu'elle a une intégrale puis de faire la dérivé de $F_1$ en pensant bien évidement retomber sur $f_1$ (x)

Mais voilà je ne trouve pas $f_1$ (x) en fesant la dérivé ...
Je me suis peut être tromper mais j'ai plutôt l'impression de mal m'y prendre

Voici ma dérivé:

$F_1$ (x) = x ln(1+x) - x + ln(1+x)
F' $_1$ (x) = ln(1+x) + x*(1/1+x) - 1 + (1/1+x)

Sachant que $f_1$ (x) me semble être égale à ln(1+x) je n'est pas d'idée pour la suite

Et même si je décide de sauter la question a. je bloque à la question b. mais pour une toute autre raison.

On me demande de déterminer la valeur éxacte de $I_1$
Sa doit vraiment être dans ma tête parce que à chaque fois que je suis tomber sur des fonctions de ce type la en controle je me suis toujours planté
le petit n en indice me perturbe completement !

Pour moi j'y comprend vraiment rien
Même si on fixe le petit n (dans le cas si présent on lui donne la valeur 1) il reste le x ! Donc je vois pas comment on peut trouver une valeur exacte quand on a une inconnu ...
Et même si on fixe le x il reste le n qui est une inconnu, sa me semble pas normal qu'on puisse en trouver une valeur fixe !

Alors plus que d'une aide sur cette question j'aurais réellement besoin de savoir ... comment "réfléchir" face à ce type de fonction ? Parce je perds énormément de temps dessus si sa tombe en contrôle et au final je n'arrive a rien :frowning2:

Bonjour,

Tu n'as pas simplifié

$\text{f'_1(x)=ln(1+x)+\frac{x}{1+x}-1+\frac{1}{1+x}$

$\text{f'_1(x)=ln(1+x)+\frac{x+1}{1+x}-1=ln(1+x)+1-1=ln(1+x)$

Donc $\text{f'_1(x)=f_1(x)$

D'où la réponse.

Pour $I_1$ tu dois trouver 2ln2 - 1

Han mais quel idiot --'

Merci ;D

et pour la b tu as fait comment ? Pour trouver 2ln2-1

Bonjour,

En utilisant la définition d'une intégrale quand on connait une primitive !

Si F est une primitive de f , alors

$∫abf(x),dx,=,,f(b),−,f(a)\int_{a}^{b} {f(x)} ,\text{d}{x},=,,f(b) ,-, f(a)$

Zorro t'a bien aidé !

J'espère que tu vas faire :

$\bigint_0^1 f_1(x) dx=[f_1(x)]_0^1 =f_1(1)-f_1(0)=.......$

Oui tout à fait je trouve bien le résultat escompter.

Merci de l'aide que vous m'avez apporté

j'ai encore un petit soucis, voici une autre question:

Montre que: 0 ≤ $I_n$ ≤ ln2

D'abords je vérifie que $ln(1+x^n$ ) est bien croissante en dérivant:
Je trouve $n x$ ^{n-1} $1+x^n$ ) > 0 donc ma fonction est croissante

Puis j'écrit:
0 ≤ x ≤1
0 ≤ $x^n$ ≤ 1
1 ≤ $1+x^n$ ≤ 2
ln 1 ≤ ln $1+x^n$ ) ≤ ln 2

0 ≤ $∫01ln(1+xn)dx\int_{0}^{1}{ln(1+x^n)dx}$ ≤ $∫01ln(2)dx\int_{0}^{1}{ln(2)dx}$

Or $∫01ln(2)dx\int_{0}^{1}{ln(2)dx}$ = [x $l n (2)]$ _0 $^1$ = ln2

Je suis pas tout à fait sur de pouvoir l'écrire comme ca

Et mon problème ce pose pour cette question:

Pour tout x de [0;1] montrer que: $f_{n+1}$ (x) ≤ $f_n$ (x)

J'ai d'abords posé la fonction: ln ( $1+x^{n1}$ ) - ln $1+x_n$ ) mais si je dérive ce truc là pour trouver le signe c'est plutôt moche

$(n+1)xn1+xn+1−nx(n−1)1+xn\frac{(n+1)x^n}{1+x^n+1} - \frac{nx^(n-1)}{1+x^n}$

Je vois mal une récurrence et je n'ai pas d'autres idées

Ps: j'ai du mal à écrire ma dérivé, par exemple le dénominateur de la première fraction est 1+ x^(n+1) et le numérateur de la 2e fraction est nx^(n-1)
Enfin bon de toute façon c'est faux

Le signe de la dérivée donne le sens de variation de la fonction , mais pas le signe.

Fais le calcul direct en utilisant les propriétés des logarithmes :

$fn+1(x)−fn(x)=ln(1+xn+1)−ln(1+xn)=ln1+xn+11+xnf_{n+1}(x)-f_n(x)=ln(1+x^{n+1})-ln(1+x^n)=ln\frac{1+x^{n+1}}{1+x^n}$

Pour $x∈[0,1]x\in [0,1]$ , tu prouves que $1+xn+11+xn≤1\frac{1+x^{n+1}}{1+x^n} \le 1$

Tu pourras en déduire le signe du logarithme et la réponse demandée.