Etudier une fonction comportant le logarithme népérien

Une fonction f représentée par la courbe C dans un graphique est définie sur $]O+∞[]O+\infty [$ par f(x) = (ax+b)Ln x ou a et b sont deux constantes que l'on précisera par la suite de l'exo.

On a définit les points A(1,0) B(2,0) et E(0,-1)

La tangente passe par A en (1,0) et E en (0,-1), (la courbe est concave elle est en dessous de la tangente). Croissante de ]- $∞\infty$
a 1,5 et décroissante de 1,5 a + $∞\infty$ et touche la tangente en A.

Les points a et b appartiennent a la courbe C, la droite (AE) est tangente a la courbe C en A.

a) f(2)=0 et f'(1)=0 ( car la courbe touche la tangente en 1.

b) en déduire a et b sont solutions du système :
a+b=1
2a+b=0

c) En déduire a et b

A partir de la, tout me pose problème :

2- Soit G une primitive de la fonction f parmis les trois courbes, C1; C2 et C3 proposées ci contre, laquelle peut représenter G.

C1 croissante sur (0;-1) et (1,5;0,1) décroissante sur (1,5;+ $∞\infty$
)
C2 décroissante sur (0;3) a (1;1,5) croissante sur (1;1,5) a (2;1,8) décroissante sur (2;1,8) a $∞\infty$

C3 décroissante sur (0,2;4) a (1,3;0,9) croissante sur (1,3;0,9) a (4;3)

3- Soit F une fonction définie sur l'intervalle ]0;+ $∞\infty$
[ par F(x) = $(2x−12x2)lnx−2x+14x2+154(\frac{2x-1}{2x^2})lnx-2x+\frac{1}{4x^2}+\frac{15}{4}$

a) Démontrer que la fonction F est une primitive de f qui prend la valeur 2 en 1

b) Calculer $∫12\int_{1}^{2}$ f(x) dx
; donner une interprétation géométrique de cette intégrale

Bonjour ! ( un petit "Bonjour" fait plaisir )

je suppose que tu as trouvé $f (x) = (- x + 2) l n x$

Idée pour la 2):

f est la dérivée de G

Cherche le signe de f(x).
Losque f(x) est positif , G est croissante
Losque f(x) est négatif , G est decroissante

Idée pour la 3)a):

Calcule F'(x) : tu dois trouver f(x)

Idée pour la 3)b): tu calcules F(2)-F(1)