Trouver les coefficient d'une fonction polynome degré 4

Bonjour,
J'ai un exercice de maths sur lequel je bloque.
Voici tout d'abord l'énoncé :

Le plan est muni d'un repère (O;i;j).
Une courbe C admet dans le repère (O;i;j) une équation du type : y = $ax^3$ + $bx^2$ + cx +d où a, b, c et d sont des réels.
Cette courbe :

est tangente à la droite d'équation y = -1 au point A d'abscisse 0
admet au point B d'abscisse 2/3 une tangente horizontale
admet au point C d'abscisse 1 une tangente parrallèle à la droite d'équation y = x + 3
→ Déterminer les réels a, b, c et d.

Je pense que le d est -1 car f(0) = -1 car y=-1 au point d'abscisse 0.
Mais pour a, b et c je ne sais pas ce qu'ils représentent.
Comme on parle à un moment de tangente, faut-il calculer une dérivée pour trouver un coefficient directeur ?
On sait que la tangente au point d'abscisse 2/3 est horizontale donc le coef directeur est 0. Mais qu'est-ce que cela nous apporte dans le calcul d'un des réels ?

Merci d'avance pour votre aide

Bonjour raphaelle89,

Le coefficient directeur de la tangente correspond au nombre dérivé de la fonction pour l'abscisse du point d'intersection de la tangente avec la courbe.

... Qu'appelez-vous le nombre dérivé de la fonction ? ...

La valeur de la dérivée pour l'abscisse du point considéré.
Pour l'indication au point B, f'(2/3) = 0

D'accord mais je ne connais pas f'(x), je sais juste que son coef directeur est nul...

Exprime f'(x) en fonction de a, b et c.

Noemi
Exprime f'(x) en fonction de a, b et c.

C'est-à-dire f'(x) = 3a² + 2bx + c

Mais est-ce suffisant pour calculer f'(2/3) = 0 ?

Il manque un x.
calcule f(2/3) en fonction de a, b et c et écris la relation entre a, b et c.

D'accord, j'obtiens
f'(2/3) = 3a(2/3)²+2b(2/3)+c

Mais que voulez-vous dire par la relation entre a, b et c ?

Simplifie cette expression.

De cette manière :
= 2/3 (3a(2/3) + 2b) +c ?

f'(2/3) = 3a(2/3)²+2b(2/3)+c
= 4a/3 +4b/3 + c = 0
soit 4a + 4b + 3c = 0

applique le même raisonnement avec le point C

Attendez ! Comment passez-vous de la première à la deuxième ligne ??????
Je ne comprend absolument pas !

f'(2/3) = 3a(2/3)²+2b(2/3)+c
= 3a×4/9 +4b/3 + c
= 4a/3 +4b/3 + c
=4a/3 + 4b/3 +3c/3
et vu que la tangente est horizontale , f'(2/3)= 0
soit 4a + 4b + 3c = 0

D'accord, merci !

Pour le point C, on fait le meme principe, c'est-à-dire :
f'(1) = 3a×1²+2b×1+c
= 3a+2b+c = 1 car le coef directeur de la tangente est 1.

Mais ensuite, qu'est-ce que cela nous apporte ?

Il te manque une troisième équation à déterminer à partir de la première information sur la tangente y = -1.

-b/2a = -1 ...???
Car le point (0 ; -1) est un sommet puisque le tangente est horizontale...

Non,

Utilise f'(0) = 0

Donc 3a(0)²+2b×0+c = 0
⇔ c=0

Oui,

Résous le système pour déterminer la valeur de a et b.

C'est-à-dire :
3a+2b = 1
4a+4b = 0 ?

Oui ce système.

Pardon mais je n'arrive pas à retrouver comment nous en sommes arrivés à trouver f'(1)=1 ?
(3a+2b+c = 1)

Dans l'énoncé,
admet au point C d'abscisse 1 une tangente parallèle ......

En effet merci !
Les solutions du système sont a=1et b=-2 ?

Non

vérifie les calculs a = 1 et b = -1.

Où est mon erreur alors ?

4a+4b = 0
3a+2b = 1 ⇔ 2b = -3a+1

4a+2(-3a+1) = 0
2b = -3a+1

4a-6a+2 = 0
2b = -3a+1

-2a+2 = 0
2b = -3a+1

2a = 2 ⇔ a=1
2b = -3×1+1 = -4

a=1
b = -4/2 = -2

???

Erreur à la fin :
2a = 2 ⇔ a=1
2b = -3×1+1 =
-4(-3 + 1 = -2 et non -4)

Soit
a=1
b = -2/2 = -1