DM sur les dérivations à rendre pour la rentrée.

Bonjour.
J'ai un petit problème avec des exercices de mathématiques et je coince sur ces deux exercices.

Exercice I:
Soit f une fonction définie et dérivable sur R.

1)Démontrer que si f est paire, alors f' est impaire.
2)Démontrer que si f est impaire, alors f' est paire.
3)Démontrer que si f est périodique de période T, alors f' est périodique de période T.

Exercice II:

Déterminer la limite, quand x tend vers 0, de sinx/x et de (cosx-1)/x en écrivant chaque rapport comme un taux d'accroissement entre certain réel x0 et x.

Par avance merci de votre aide.

Salut.
Je fais seulement une question.

Ex I
Question 1

Le taux de variation de la fonction f en a est
$T_a$ (h) = (f(a+h) - f(a))/h.
On sait que f '(a) = $lim_{h->0}$ $T_a$ (h).

Or, le taux de variation de f en -x est
$T_{-x}$ (h) = (f(-x+h) - f(-x))/h.
On sait que l'on a
f '(-x) = $lim_{h->0}$ $T_{-x}$ (h). (1)
Or, on a aussi $T_{-x}$ (h) = (f(x-h)-f(x))/h, puisque f est paire.
En posant k = -h, on a
$T_{-x}$ (h) = - (f(x+k) - f(x))/k = $T_x$ (k).
Et h tend vers 0 en même temps que k.
On a $lim_{k->0}$ $T_x$ (k) = - f '(x). (2)

Par comparaison de (1) et (2), on a bien f '(-x) = -f '(x), ce qui montre que f ' est impaire lorsque f est paire.

Merci beaucoup, je vais étudier ça et je vous direz si j'ai réussi.
Encore merci.

Voici pour l'exercice II.

Pour sin x / x, il faut écrire
sin x / x = (sin x - sin 0) / (x - 0)
de façon à faire apparaître le nombre dérivé de t -> sin t en 0 (c'est ... cos 0).