Etudier une fonction avec sinus cosinus


  • A

    Bonsoir,

    La fonction f est définie sur R par :

    f(x)= sin² x +3\sqrt{3}3cosx

    Cf est la courbe représentative dans un répère.

    1.a. Démontrer que l'axe des ordonnées est un axe de symétrie de la courbe Cf.
    1.b. Démontrer que 2pi est une période de la fonction f.
    2. Dans cette question, pour l'étude de f, on se limitera à l'intervalle I=[0;pi]
    2.a. Vérifier que f'(x)=sinx(2cosx-3\sqrt{3}3)

    2.b. Etudier les variations de f sur I.
    2.C. Tracer c dans un repère.
    2.d. Démontrer que pour tout x appartenant à [−pi4;pi4\frac{-pi}{4};\frac{pi}{4}4pi;4pi] on a 1,72≤\leqf(x)≤\leq1,75
    3. Démontrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution alpha sur l'intervalle [2;2,1].

    1.a et 1.b ok
    2.a. Je ne suis pas sur de ma méthode pour la dérivée.
    f'(x) = sin(x)²+3\sqrt{3}3(cosx)
    = 2(cosx)(sinx)+3\sqrt{3}3(-sinx)
    =sin(x)(2cosx-3\sqrt{3}3)

    on ne dérive pas 3\sqrt{3}3 car c'est une constante, c'est cela?

    2.b.
    sinx=0
    x=0 ou x=pi
    sur[0;pi] sin(x)≥\geq0
    Donc le signe de la dérivée est du signe de (2cosx-3\sqrt{3}3)

    (2cosx-3\sqrt{3}3)
    2cosx=3\sqrt{3}3
    cosx=32\frac{\sqrt{3}}{2}23
    x= pi6\frac{pi}{6}6pi
    ou x= −pi6\frac{-pi}{6}6pi Hors encadrement [0,pi] donc on n'en tient ps compte?

    je cherches le signe de f'(x) sur [0;pi6\frac{pi}{6}6pi[ et ]pi6\frac{pi}{6}6pi;pi]

    Les encadrements: 😡
    Sur intervalle [0,pi6\frac{pi}{6}6pi[
    je cherche
    0≺\precx≤\leqpi6\frac{pi}{6}6pi

    et sur ]pi6\frac{pi}{6}6pi;pi]
    je cherche
    pi6\frac{pi}{6}6pi≤\leqx≤\leqpi ???

    Suis je sur la bonne voie??? 😕

    Merci


  • N
    Modérateurs

    Bonsoir arone,

    le début est correct.
    Sur [0;π/6[, 2cosx - √3 ≥0
    Sur ....


  • A

    Bonjour,

    Est ce que je peux trouver en procédant ainsi:
    0≤\leqx≤\leqpi6\frac{pi}{6}6pi
    0≤\leqcosx≤\leqcospi6\frac{pi}{6}6pi
    0≤\leq2cosx≤\leq2cospi6\frac{pi}{6}6pi
    etc?

    Merci


  • N
    Modérateurs

    Non,

    Il faut tenir compte des variations de la fonction sur l'intervalle,
    ici la fonction est décroissante, donc
    ....


  • A

    "Sur [0;π/6[, 2cosx - √3 ≥0"
    j'ai déjà besoin d'une explication!
    2cosx - √3 ≥0 (car cosx≥\geq32\frac{\sqrt{3}}{2}23???)
    Donc la fonction est décroissante (car le cosinus décroit sur l'intervalle[0;pi/6[?)

    Merci


  • N
    Modérateurs

    Sur l'intervalle [0;π/2], la fonction cos x est décroissante,
    donc
    0≤x≤π/6 donne
    cos0 ≥ cosx ≥cosπ/6
    ...


  • A

    Bonjour

    Sur l'intervalle [0;π/2], la fonction cos x est décroissante,
    Donc
    0≤\leqx≤\leqpi6\frac{pi}{6}6pi donne
    cos0≥\geqcosx≥\geqcospi6\frac{pi}{6}6pi
    1≥\geqcosx≥\geq32\frac{\sqrt{3}}{2}23
    2≥\geq2cosx≥\geq232\frac{\sqrt{3}}{2}23
    2≥\geq2cosx≥\geq3\sqrt{3}3
    2-3\sqrt{3}3≥\geq2cosx-3\sqrt{3}3≥\geq0
    Donc 2cosx-3\sqrt{3}3≥\geq0 et la fonction est décroissante?

    Merci


  • N
    Modérateurs

    Les variations dépendent du signe de sinx.
    Etude sur [0;π]


  • A

    Bonjour

    "Les variations dépendent du signe de sinx."
    Je ne suis pas sure de comprendre ce que vous voulez dire.
    Il faut peut être que je rajoute une ligne:
    Donc sinx (2cosx-3\sqrt{3}3)≥\geq0 et la fonction est croissante? (et non décroissante, une erreur de ma part!)

    ensuite je fais la même chose sur l'intervalle [pi6\frac{pi}{6}6pi;pi]

    Sur l'intervalle [0;π], la fonction cos x est décroissante, Donc
    pi6\frac{pi}{6}6pi≤\leqx≤\leqpi
    pi6\frac{pi}{6}6picosx≥\geqcosx≥\geqcospi
    32\frac{\sqrt{3}}{2}23≥\geqcosx≥\geq-1
    3\sqrt{3}3≥\geq2cosx≥\geq-2
    0≥\geq2cosx-3\sqrt{3}3≥\geq23\sqrt{3}3
    Donc sinx (2cosx-3)\sqrt{3})3)≤\leq0 donc la fonction est décroissante

    Est ce que la formulation est correcte?

    Merci


  • N
    Modérateurs

    Pour étudier le signe de f'(x)=sinx(2cosx-√3) sur l'intervalle [0;π]
    Si on considère que c'est le signe d'un produit.
    On étudie le signe de 2 cos x - √3
    cos x =√3/2 si x = π/6
    si 0 < x < π/6, 2cos x - √3 > 0 et
    si π > x > π/6, 2cos x - √3 < 0
    et le signe de sinx qui sur [0;π] est positif

    donc
    f est croissante sur ....
    et décroissante sur ....


  • A

    Bonjour

    Donc f est croissante sur [0;π6\frac{\pi }{6}6π[ et décroissante su ]π6\frac{\pi }{6}6π;pi] .
    J'ai une question: pourquoi mettre strictement (<,>) et pas strictement ou égale (≤≥\leq \geq) dans votre précédente explication?

    Merci


  • N
    Modérateurs

    Tu peux utiliser l'un ou l'autre.


  • A

    Bonsoir

    J'ai oublié de terminer l'exercice!

    1. sur l'intervalle [2;2,1] f est continue et strictement décroissante. 0 appartient à l'intervalle [2;2,1] donc d'après le TVI, l'équation f(x)=0 admet une solution unique sur [2;2,1], alpha=2,04.

    2.d. Je ne sais pas comment le démontrer!

    Merci


  • N
    Modérateurs

    tu utilises les variations de la fonction ou le tableau de variation.


  • A

    Effectivement.

    Merci


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