Exprimer la probabilité p d'obtenir un jeton n°2 au nième tirage

[brom2]

Bonjour, je ne parviens pas à faire cet exercice de probabilités:

On dispose de 2 sacs contenant respectivement: pour le sac n°1: 4 jetons n°1 et 6 jetons n°2 et pour le sac n°2: 6 jetons n°1 et 4 jetons n°2. On tire un premier jeton dans le sac n°1 (tirage avec remise), on continue ensuite des tirages suivant le protocole suivant, le sac dans lequel s'effectue le tirage avec remise d'un jeton est celui ayant le même numéro que le jeton tiré lors du tirage précédent. Exprimer en fonction de n, pour tout n de N*, la probabilité $p_n$ d'obtenir un jeton n°2 au nième tirage.

J'ai fait :
Card $(E)=2^n$
j'ai ensuite testé lors de plusieurs tirages :

• tirer un 2 lors du premier tirage :
  $p_1$=(6C1 + 4C1)/2
  $p_2$=(4C16C1)+(6C16C1)/4

merci de m'aider

[mtschoon]

Bonjour,

Je ne comprends guère le début de ta démarche.

Piste de travail ,

Je te suggère de faire des arbres probabilistes, car des petits schémas éclairent les raisonnements.

De façon simple, tu peux prouver que :

le sac 1 étant choisi, la probabilité de tirer 1 est 4/10=0.4 et la probabilité de tirer 2 est 6/10=0.6

le sac 2 étant choisi, la probabilité de tirer 1 est 6/10=0.6 et la probabilité de tirer 2 est 4/10=0.4

Tu peux chercher une relation de récurrence entre $p_n$et $p_{n+1}$

Principe :

$p_1$=0.6

Soit $p_n$ la probabilité de tirer 2 au $n^{i\grave{e}me}$ tirage
La probalilité de tirer 1 au $n^{i\grave{e}me}$ tirage est donc $1-p_n$

Je te mets l'arbre (correspondant au $n^{ieme}$ et (n+1) $i^{eme}$ tirages)

Tu peux déduire :

$p_{n+1}=(1-p_n)p_1+(p_n)(1-p_1)$

Tu transformes, tu remplaces $p_1$ par sa valeur et tu trouves une relation de la forme

$p_{n+1}=a{p}_n+b$

Tu étudies cette suite et tu trouves l'expression de $p_n$ en fonction de n

[brom2]

donc :

$p_{n+1}$=0.$6(1-p$_n$)+p_n$*0.4

donc $p_{n+1}$=0.6-0.$6p_n$+0.$4p_n$
$p_{n+1}$=0.6-0.$2p_n$

donc $p_n$=-0.$2^{n-1}$*0.1 (à vérifier je pense avoir fait une erreur mais je veux juste le principe)

et une fois cela fait que faire ensuite ?

[mtschoon]

Cela me semble bien être

$p_{n+1}=-0.2p_n+0.6$

cette relation s'appelle relation de récurrence affine d'ordre 1

On peut dire que la suite $(p_n$) est "arithmético-géométrique"

Regarde si tu trouves cela dans ton cours.

l'expression de $p_n$ que tu donnes est très bizarre.

Pour la méthode, si ton cours ne t'éclaire pas, tu peux regarder ici :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_arithmético-géométrique

[brom2]

oui j'ai du faire une erreur de calcul. Je retrouverai le bon résultat sur papier car je serai plus à l'aise.

Une fois que j'ai la formule, comment répondre à la question posée?

[mtschoon]

L'énoncé indique :
Citation
Exprimer en fonction de n, pour tout n de N*, la probabilité pn d'obtenir un jeton n°2 au nième tirage

Je ne sais pas trop de quelle formule tu parles...

Si tu as la bonne expression de $p_n$ en fonction de n, tu n'as plus rien à faire.

[brom2]

d'accord je vais la calculer je croyais qu'il fallait faire autre chose

[brom2]

j'ai refais mes calculs et au final je trouve :
voici les détails :

$v$n$=p_n$-0.5
$v${n+1}$=p_{n+1}$-0.5
$v_{n+1}$=-0.$2p_n$+0.1
$v_{n+1}$=-0.$2(p_n$-0.5)

Donc $v_{n+1}$=-0.$2p_n$ donc $v_n$=-0.$2^{n-1}$(0.1) et $p_n$=-0.$2^{n-1}$(0.1) +0.5

[mtschoon]

Je pense que yu as fait une faute de frappe à la dernière ligne.
Citation
vn+1=-0.2pn

C'est $v_{n+1}=-0.2v_n$

L'expression de $p_n$ me semble bonne, mais mets des parenthèses autour de -0.2, pour éviter toute ambiguité.

$p_n=(-0.2{)}^{n-1}(0.1)+0.5$

Avant de recopier ton devoir, vérifie tout depuis le début pour être sûr que tout est bon.