Exprimer des relations vectorielles

Bonjour, nous avons un DM à rendre pour le 28/04/2014 (DM à deux) mais disons que nous ne sommes pas très au point par rapport aux vecteurs...
Je vais vous poster l'énoncé, par la suite nous vous posterons les résultats et essais que nous aurons trouvé au fur et à mesure.

Exercice 1 :
Soit ABC un triangle quelconque.
Soient G et H les points définis par :(vecteur que je noterai avec ~)
2GA~ + 3GB~ = 0 et 8HA~ - 3HB~ = 0

Exprimez les vecteurs AG~ et AH~ en fonction du vecteur AB~.
Que pouvez vous en déduire concernant le point A ? Justifiez.
Tracez une figure et construisez les points G et H.
Construisez le point K tel que AK~ = -1/2 CG~.
Exprimez le vecteur BK~ en fonction des vecteurs AB~ et AC~.

Tous détails, aide ou propriétés nous sera utiles.
Merci :).

Bonjour,

Ici on ne poste qu'un exercice par discussion.

Il faut ouvrir, si besoin, d'autres discussions pour les autres exercices.

Piste pour démarrer,

Relation de Chasles

$AG⃗=AB⃗+BG⃗\vec{AG}=\vec{AB}+\vec{BG}$ (***)

Il faut maintenant transformer $BG⃗\vec{BG}$ en utilisant l'hypothèse.

$2GA⃗+3GB⃗=0⃗2\vec{GA}+3\vec{GB}=\vec{0}$

donc :

$3GB⃗=−2GA⃗3\vec{GB}=-2\vec{GA}$

$GB⃗=−23GA⃗\vec{GB}=-\frac{2}{3}\vec{GA}$

$BG⃗=23GA⃗\vec{BG}=\frac{2}{3}\vec{GA}$

En remplaçant dans la formule (***)

$AG⃗=AB⃗+23GA⃗\vec{AG}=\vec{AB}+\frac{2}{3}\vec{GA}$

En transposant :

$AG⃗−23GA⃗=AB⃗\vec{AG}-\frac{2}{3}\vec{GA}=\vec{AB}$

$AG⃗+23AG⃗=AB⃗\vec{AG}+\frac{2}{3}\vec{AG}=\vec{AB}$

$53AG⃗=AB⃗\frac{5}{3}\vec{AG}=\vec{AB}$

$\fbox{\vec{AG}=\frac{3}{5}\vec{AB}}$

Même principe pour déterminer le point H