Montrer qu'une suite est toujours différente d'un nombre donné

Bonjour je suis un élève de première S et j'ai reçu un Dm la suite U est définie Pour tout entier n>0 par : $U_1$ =0 et $U_{n+1}$ = $1/2-U_n$
Il faut écrire une démonstration qui montre que pour tout n>0 , on peut affirmer que $U_n$ est différent de 1 .
J'ai commencé en voulant démontrer que la suite était strictement croissante et de calculer U jusqu’à ce qui dépasse 1 pour prouver qu'il était toujours différent de 1 mais je bloque à un moment ou j'arrive a $1-2U_n$ - $U_n$ ² $2-U_n$ et je ne sais plus quoi faire .
Merci de votre aide .

Bonjour,
Ton énoncé n'est pas clair : est-ce (1/2) - Un, ou 1/(2-Un) ?
S'il s'agit de la deuxième forme, essaie simplement de démontrer que Un < 1 (strictement).

C'est bien $1/(2-U_n$ )
Donc pour démontrer que $U_n$ < j'utilise $U$ n $1/(2-U</em>{n-1}$ ) ?
Merci de ta réponse !

Tu utilises bien sûr la définition de Un+1 en fonction de Un (ou de Un en fonction de Un-1 : simple question de détail) pour tenter une démonstration par récurrence.

Merci
Mais je n'arrive pas a trouver de quoi partir pour démontrer que $U_n$ <1

Déjà, U0 < 1 , et tu peux calculer U1 et vérifier qu'il est inférieur à 1.
Ensuite, tu supposes que Un < 1 , et à partir de là, tu vois ce que tu peux dire de Un+1.

Merci beaucoup !

De rien.
Tu y arrives ?

Je trouve ( de l'énoncé ) $U_1$ =0<1 puis par le calcul $U_2$ =1/2
Je suppose que $U_n$ <1
Donc :
1=1
1/2<1
$1/(2-U_n$ )<1 ( comme $U_n$ <1)
Mais cela me semble étrange , est ce correcte ?

Citation
1/(2-Un) < 1 ( comme Un < 1)C'est un peu rapide !
C'est précisément ce qu'il faut démontrer.

Si Un < 1 , alors -Un > - 1, donc 2 - Un > 2 - 1 = 1 :
donc 2 - Un > 1 (donc positif)
donc son inverse (positif) est plus petit que 1 : 1/(2 - UN) < 1
C'est-à dire Un+1 < 1
La propriété est vraie pour n = 0,
Étant vraie pour n elle est encore vraie pour n+1,
Donc elle est vraie pour tout n positif.

C'est bien ce que je pensais merci beaucoup !
Je bloque a nouveau a la question suivante :
On considère la suite V définie pour tout n>0 par $V$ n $1/(U_n$ -1)
Je dois démontrer que la suite est arithmétique je calcule donc la différence $U$ {n+1} $U_n$
Et je me retrouve bloqué a $(U$ n $- 1 - U$ {n+1} $- 1) / [(U$ n $) (U$ {n+1} $) - U$ n $U</em>{n+1}$ +1]
Je ne sais pas comment simplifier ça
Merci

C'est Vn+1 - Vn que tu dois calculer, pas Un+1 - Un.

Euh oui pardon je me suis trompé dans mon message mais c'est bien ce que j'ai calculer.

On te donne $V_n$ en fonction de $U_n$ : $V_n$ = $1/(U_n$ - 1)
Exprime $V_{n+1}$ en fonction de $U_{n+1}$ puis de Un
Enfin, calcule $V_{n+1}$ - $V_n$ : le résultat est simple, et ne dépend pas de n.

$V$ {n+1} $1/(U</em>{n+1}$ -1)
Comment fait t'on pour ensuite l'exprimer en fonction de $U_n$ s'il te plait ?

$V$ _{n+1} $= (2 - U$ _n $1-U_n$ ) est ce ça ?

Ton dénominateur est faux : problème de signe.

$V$ _{n+1} $= (2 - U$ n $U_n$ -1)
Ce qui fait :
$V$ {n+1} $V_n$ = $(1 - U$ _n $1+U_n$ )=-2 ?
Donc la suite est arithmétique de raison r=-2 ?

Pourquoi -2 ?!
Que vaut un quotient de la forme a/(-a) ?

-1 désolé

Donc, tu as bien une suite arithmétique de raison -1 (et de premier terme V0 = -1).

Merci beaucoup
Il faut ensuite que je trouve l'expression de $U_n$ en fonction de n il faut utiliser la formule $U$ _n $= U$ _p $n-p)^r$ pour la trouver non ?

Non:

ta formule est fausse : tu mélanges suites arithmétiques et suites géométriques.
De plus, pars de l'indice 0 et pas de l'indice p : Vn = V0 + n.r
C'est (Vn) qui est une suite arithmétique, pas (Un).
Regarde les premiers termes afin d'éviter des erreurs grossières.

La formule général d'une suite arythmétique $U_n$ ) de raison r n'est pas $U$ _n $U_p$ +(n-p)r ?

Oui, si on part de Up, mais ici, autant partir de U0, d'autant qu'on te demande d'exprimer Un pour n ≥ 0.
Attention, la suite arithmétique est (Vn), pas (Un).

D'accord merci
Et comment exprimer $U_n$ en fonction de n du coup ?

D'abord, Vn :
Vn = V0 + n.r , et V0 = -1 (calculé à partir de U0 = 0)
D'où Vn = -1 -n
Ensuite, puisque Vn = 1/(Un - 1), alors Un = 1 + 1/Vn
Il n'y a plus qu'à remplacer.
On trouve Un = n/(n + 1).
A vérifier sur U0, U1, U2, U3

Merci beaucoup !

De rien voyons.