Montrer des égalités en s'aidant du cercle trigonométrique


  • V

    Bonjour !

    Partie 1 :

    A est le point image du réel π/6 sur le cercle trigonométrique C de centre O. [AH] est la hauteur du triangle IAI'.

    1. Justifier les mesure 30° et 15° indiquées sur la figure.
    2. a) Montrer que AI' = 2cos15° et en déduire AH en fonction de cos15° et sin15°
      b) Déduire une relation simple entre sin 30° et le produit sin15° * cos15°
      Répondre à la question posée dans le titre.

    Où j'en suis :

    J'ai répondu à tout et je suis au 2. b) Je n'arrive pas à prouver que sin(2*15°) = 2 * sin(15°)

    J'ai réussi à démontrer que sin(2 * 15°) = 2cos(15°) * sin(15°)


    Partie 2 : Valeurs exactes de sin(π/12) et π(cos/12)

    1. Déterminer la valeur exacte de I'H.

    2.a Exprimer de deux façons cos15), en se plaçant dans les triangles I'AH et I'AI.
    b. En déduire que I'H=2(cos15°)²

    1. Déduire des questions 1 et 2 la valeur exacte des cos15°
      Déterminer alors celle de sin15°
      En déduire les valeurs du titre de l'exercice.

    Merci d'avance ! fichier math


  • mtschoon

    Bonjour,

    Dans la partie 1), sin(2*15°) ≠ 2 * sin(15°) ( la fonction sinus n'est pas linéaire, alors tu ne risques pas démontrer l'égalité, car elle est fausse)

    Piste pour la partie 2)

    I'H=I'O+0H=1+cos(30°)=1+√3/2

    Tu peux écrire : I′H=2+32I'H=\frac{2+\sqrt 3}{2}IH=22+3

    Essaie de poursuivre.


  • V

    C'est bon j'ai réussi en fait. Je suis à la question 3 de la partie 2 où je ne sais pas comment y aller...

    Sinon pour la partie 2) Question 2.a., la réponse est uniquement
    cos(15) = I'H / I'A
    cos(15) = I'A / II'

    ou il faut que j'aille plus loin ?


  • mtschoon

    C'est bon pour la 2)a) . Tu peux remplacer II' par 2

    Si tu as fait la 2)a) puis la 2)b) , la 3) est une simple conséquence.

    Avec la 2)b), tu peux isoler (cos15°)²

    Il te reste à remplacer I'H par l'expression trouvée au 1)

    Ensuite, tu prends la racine carrée pour obtenir cos15°


  • V

    J'avais déjà réussi pour le 2.b. mais je ne sais pas comment approcher le 3...


  • mtschoon

    Je te répète ce que je viens de t'écrire :

    " Avec la 2)b), tu peux isoler (cos15°)²

    Il te reste à remplacer I'H par l'expression trouvée au 1)

    Ensuite, tu prends la racine carrée pour obtenir cos15°"


  • V

    J'ai réussi à tomber sur ça :

    cos(15) = √[2cos(30) + 2] / 2

    C'est ça ?


  • mtschoon

    Oui, c'est ça, mais remplace cos(30) par sa valeur exacte ( sqrt32\frac{sqrt 3}{2}2sqrt3 )


  • V

    C'est bon, j'ai fini cet exercice, mais je n'arrive pas à faire celui-ci, pourriez-vous m'aider ? http://www.mathforu.com/sujet-21989.html

    Merci d'avance !


  • mtschoon

    Pour ton second sujet, je vois que Noemi t'a répondu, donc pas de problème .

    Bon DM.


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