Démontrer qu'une droite est orthogonale à un plan


  • L

    Bonjour, j'ai un exercice à faire mais je ne comprends pas du tout.. J'aurais besoin d'aide.. Merci d'avance !

    SABCD est une pyramide dont la base ABCD est un carré de côté 6 et telle que les faces ABS et ADS sont des triangles isocèles en A. On définit les points I et J comme étant les milieux respectifs de [SB] et [SC].

    1. Faire une figure en perspective cavalière représentant la situation, et représenter le quadrilatère AIJD en couleur.
    2. Démontrer que A, I, J, D sont coplanaires.
    3. Démontrer que la droite (AD) est orthogonale à (ABS).
    4. En déduire que les droites (IJ) et (AI° sont orthogonales.
    5. Déterminer précisément la nature du quadrilatère AIJD, puis calculer son aire.
    6. Démontrer que la droite (SI) est orthogonale au plan (AIJ).
    7. En déduire le volume de la pyramide SAIJD.
    8. Calculer le volume de la pyramide SABCD, puis en déduire celui du solide AIBDJC.

    Merci encore à ceux qui me répondront, LILI70 😄


  • mtschoon

    Bonjour,

    Pour t'éclairer un peu, j'ai tenté de te faire un schéma.

    fichier math

    Si besoin, tiens nous au courant de tes réponses


  • L

    Merci pour la figure voici ma réponse à la question 2.

    AD= coté du carré ABCD
    I milieu de BS
    J milieu de CS
    [BC] est un coté de ABCD
    (IJ) est donc parallèle à (BC)
    (BC)//(AD) car appartiennent à ABCD
    donc (IJ)//(AD)
    2 droites étant // sont coplanaires
    Donc (IJ) et (AD) sont coplanaires
    ainsi A, I, J, et D sont coplanaires

    J'ai commencé la question 3, mais je bloque:

    ABS est un triangle rectangle et isocèle en A
    AD est un coté du carré ABCD
    (AD) perpendiculaire à (AB) (( carré ABCD))

    voilà !
    LILI70 😄


  • mtschoon

    Effectivement, vu l'énoncé écrit, il est normal que tu bloques à la 3)...

    N'aurais-tu pas oublié une donnée de l'énoncé ?

    Tu as écrit :

    Citation
    ABS et ADS sont des triangles isocèles en A.

    Dans l'énoncé original, n'y aurait-il pas écrit :ABS et ADS sont des triangles isocèles etrectangles en A ?


  • L

    Ah oui effectivement.. C'est bien bien des triangles isocèles rectangles en A


  • mtschoon

    Je m'en doutais un peu...c'est ce que j'ai essayé de représenter sur la graphique

    Piste pour la 3) (à expliciter)

    (AD) ⊥ (AB) et (AD) ⊥ (AS) => (AD) ⊥ plan(ABS)

    (rappel : une droite est perpendiculaire à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites concourantes de ce plan)


  • L

    d'accord je vois.. merci 😄


  • L

    comment puis-je calculer la longueur IJ ?


  • L

    J'ai trouver IJ=3 cm, moitié de BC par théoreme de thalès

    comment montrer que SI est orthogonale à (AIJ) ?


  • mtschoon

    Tu dois trouver deux droites concourantes du plan (AIJ) orthogonales à (SI)

    Pistes,

    Le triangle SBC est rectangle en B (car l'angle abc^\widehat{abc}abc est droit)

    Donc : (SB) ⊥(BC)

    Or (IJ) // (BC)

    Donc (SI) ⊥ (IJ)

    D'autre part, le triangle SAB étant isocèle rectangle, la médiane (AI) est aussi hauteur,

    donc (AI) ⊥(SI)

    Tu peux tirer la conclusion souhaitée.


  • L

    d'accord j'ai compris merci

    pour AIJD j'ai trouvé un trapèze rectangle en I, d'aire 19,035cm²

    est-ce que cela doit me servir pour les questions 7 et 8 ?


  • mtschoon

    Pour l'aire AIJD , donne tes calculs si tu veux une vérification.
    En plus , la valeur doit être irrationnelle plutôt qu'une valeur approchée.

    Oui cette aire servira aux dernières questions.

    Rappel :

    $\text{aire(pyramide)=\frac{1}{3} \times aire(base) \times\ hauteur$


  • L

    AI=4,23cm (par théoreme de pythagore)
    DJ=4,23cm
    IJ= 3cm (moitié de BC par théorème de thalès)

    Aire= (petite base + grande base)*hauteur /2
    = (3+6)*4,23 /2
    = 19,035 cm²

    je ne sais pas quoi prendre comme hauteur pour la pyramide SAIJD

    pour SABCD :

    Aire(SABCD)= 1/3 * 6*6 * 6 =72cm²

    est-ce bon ?


  • mtschoon

    Comme je te l'ai déjà indiqué, mets les valeurs irrationnelles exactes ( non les valeurs approchées de ta calculette)

    ai=32ai= 3\sqrt 2ai=32

    donc...

    Pour la pryramide, relis les questions précédentes et tu sauras quelle est la hauteur.


  • L

    en prenant AI= 3√2 on a aire=19,09 cm²

    la hauteur serait SI ?


  • mtschoon

    Cela fait maintenant la 3ème fois que je te le dis...
    Donne la valeur exacte et non approchée de l'aire ( valeur avec √2)

    Oui la hauteur est (SI)


  • L

    D'accord, je vais mettre ça en valeur exacte

    Merci beaucoup pour votre aide ! 😄

    LILI70


  • mtschoon

    De rien.

    J'espère que tu vas répondre

    $\text{ aire(aijd)=\frac{27\sqrt 2}{2}$

    Tu auras ainsi facilement le volume de la pyramide (SAIJD)

    En calculant ensuite le volume de la pyramide (SABCD), puis en faisant la différence des 2 volumes, tu obtiendras le dernier volume demandé.

    Bon travail !


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