Trouver l'expression d'une suite Un en fonction de n

Bonjour,
Je suis bloquée sur un exercice de maths (je suis en TS)

L'énoncer :
On considère l'algorithme suivant :

ENTRÉE : n un entier naturel
INITIALISATION : Affecter à u la valeur 1;
à S la valeur 1; à i la valeur 0;
TRAITEMENT : Tant que i < n
Affecter à u la valeur 2u + 1 - i;
Affecter à S la valeur S + u;
Affecter à i la valeur i + 1.
SORTIE : Afficher u;
Afficher S.

Partie 1 : Compléter le tableau

valeur de n 0 1 2 3 4 5
valeur de u
valeur de S

Partie 2 :
(un) et (Sn sont les suites définies sur par u0 = 1, un+1 = 2un+ 1 - n et Sn = u0 + u1 + ... + un

1.pour un entier naturel n donné, que représentent les valeurs affichées par l'algorithme de la partie 1 ?
2.le but de cette question est d'exprimer un en fonction de n
a.dresser la liste des valeurs de un - n pour tout entier n compris entre 0 et 5.
b.quelle conjecture peut on faire ?
c.démontrer par récurrence ce résultat.
3.a.exprimer la fonction de n les sommes : 1+2+...+n et 1+2+2²+...+2n
b.en déduire une expression de Sn en fonction de n.

Pour la partie 1 mes résultats sont :
Valeur de n : 0 1 2 3 4 5
Valeur de u : 1 3 6 11 20 37
Valeur de S : 1 4 10 21 41 78

J'aurai besoin d'aide pour la question 2-a)
J'ai essayé plusieurs chose mais je ne trouve pas les bons résultats, il faut, à mon avis retrouver les valeurs du tableau de la partie 1.

Merci de votre aide

Bonjour nonooo4,

Quels résultats as tu trouvé pour $u_n$ - n ?