Calcul de la somme des termes d'une suite arithmétique/ géométrique


  • D

    Bonjour !

    Je n'ai pas réussir à faire la question suivante :

    Soit u(n) définie par u0 = -1
    u(n+1) = u(n) + n + 1

    On définie la suite v(n) par v(n) = u(n + 1) - u(n) pour tout entier naturel n.

    Calculer S(n) = ∑k=0n−1vk\sum_{k=0}^{n-1} {v_{k}}k=0n1vk en fonction de n puis exprimer S(n) en fonction de u(n) et en déduire l'expression de u(n) en fonction de n.

    Je trouve que v(n) = 2 + n, mais je ne vois pas quoi faire pour la suite. Merci par avance !


  • mtschoon

    Bonsoir,

    Piste pour avancer,

    vn=un+1−unv_n=u_{n+1}-u_nvn=un+1un

    Tu as écrit u(n+1) = u(n) + n + 1

    Si c'est bien cela,vn=n+1v_n=n+1vn=n+1 ( et non n+2)

    Pour le calcul de S(n) :

    $\left{v_0=u_1-u_0\ \ v_1=u_2-u_1\ \ v_2=u_3-u_2\ \ ...\ \ ...\ \ ...\ \ v_{n-1}=u_n-u_{n-1}\right$

    En additionnant membre à membre ces n égalités et en simplifiant le membre de droite, tu dois trouver :

    sn=un−u0=un+1s_n=u_n-u_0=u_n+1sn=unu0=un+1

    Donc un=sn−1u_n=s_n-1un=sn1

    sn=∑k=0k=n−1vks_n=\sum_{k=0}^{k=n-1}v_ksn=k=0k=n1vk

    Il te reste à expliciter SnS_nSn pour trouver son expression en fonction de n et tu pourras déduire l'expression de UnU_nUn


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