Résoudre une équation degré 3 dans le plan complexe

[mikky]

pouvez-vous m'aider à résoudre ceci :

12x^3 - 28x^2 - 23x - 5 = 0

sachant quelle admet au moins 1 racine reelle

merci d'avance

[karim1290]

bonsoir

tu as essayé d'etudier le fonction ??

[mikky]

reponse a karim:

en fet il s'agit d'un complement sur les nombres complexes , et il faut pouvoir trouvé les racines des cette fonction grace au nombre complexe, c'est a dire gracé a la constante k et a la parti imaginaire i, enfin c'est plus ou moin ce que j'ai compris de ce que mon prof ma dit

[GaussFutur]

Désolé mais je ne comprends pas l'equation....
Il y a des "ixe", des "fois" ?

Je comprends pas tout là !!

[karim1290]

bonsoir GaussFutur

en fait si j'ai bien compris il s'agit d'une equation complexe du 3eme degré a résoudre dans C

[karim1290]

On écrit l’équation sous la forme suivante :(z+z1)(z+z2)(z+z3)=z^3 +pz²+qz+r=0

où p= z1+z2+z3 ,q=z1z2+z2z3+z3z1 , et , r= z1z2z3
et dont les racines sont -z1,-z2,-z3

puis resolution:
Pour résoudre l’équation, on calcule d’abord les facteurs m, n, D suivants m= p²-3q
n= 2p^3-9pq+27r
D= n²-4m ^3
D est le discriminant de l’équation dont on précisera le rôle par la suite.
On extrait une racine D’ de D telle que D'= $sqrt$D)
On pose y1=p
On calcule y2= $sqrt[3]$((n+D)/2))
en prenant l’une des racines cubiques en l’exprimant par son module (|y2| ) et son argument (arg(y2)).

On trouve y3 en calculant son module |y3|=|m|/|y2| et son argument
arg(y3)=arg(m)-arg(y2)
En appelante t=exp(j2$pi$/3), les trois valeurs, z1, z2 et z3 sont
z1= (1/3)(y1+y2+y3)
z2=(1/3)(y1+ty2+t²y3)
z3=(1/3)(y1+t²y2+ty3)

Les racines sont -z1,-z2,-z3

y a plus qu'a appliquer pour ton equation
bon courage..............

[karim1290]

petite erreur de ma part

y2= $sqrt[3]$((n+D')/2))

[mikky]

merci beaucoup

[Zorro]

Tu as réellement compris ? Ou tu es bien élevé(e) ?

Parce qu'en terminale on raisonnerait différemment.

Sachant que le polynôme

P(z) = 12z^3 -28z^2 -23z-5 a une racine réelle que l'on appelle $z_1$

le polynôme P(z) peut s'écrire sous la forme

P(z) = (z - $z_1$) (az^2 + bz + c)

Par la méthode d'identification tu trouves a, b et c
Puis tu résouds az^2 + bz + c = 0

Ce sera plus simple et ton prof pourra croire que tu as trouvé sans aide ...;
Parce que la méthode de Karim doit marcher mais n'est absolument pas au programme de terminale.

Bons calculs