Déterminer le chiffre des unités en arithmétique


  • P

    Bonsoir, je sollicite votre aide pour m'aider à répondre à cette question d'un devoir maison :

    Quel est le chiffre des unités de n^5-n avec n entier naturel

    Merci de votre aide à l'avance


  • mtschoon

    Bonjour,

    Quelques pistes possibles,

    Tu commences par faire un test pour constater que, dans le test, le chiffre des unités est 0.

    Il faut que tu prouves que n5n^5n5-n est divisible par 10

    n5−n=n(n−1)(n+1)(n2+1)n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)n5n=n(n1)(n+1)(n2+1)

    n(n+1) est produit de 2 entiers consécutifs donc un des deux est pair donc le produit est pair.
    Tu peux déduire que n5n^5n5-n est divisible par 2

    Il te reste à prouver que n5n^5n5-n est divisible par 5

    Pour cela, il y a plusieurs méthodes.

    Par exemple :

    Tu peux traiter les 5 cas possibles :
    n≡0 (5) n≡1 (5) n≡2 (5) n≡3 (5) n≡4 (5)n \equiv 0 \ (5) \ n \equiv 1\ (5) \ n \equiv 2\ (5) \ n \equiv 3\ (5) \ n \equiv 4\ (5)n0 (5) n1 (5) n2 (5) n3 (5) n4 (5)

    Je t'en fait un, tu fais les autres.

    n≡2 (5) donc n5≡32 (5)n \equiv 2\ (5) \ donc \ n^5 \equiv 32\ (5)n2 (5) donc n532 (5)

    Vu que 32=(6x5)+2

    n5≡ 2 (5)n^5 \equiv \ 2 \ (5)n5 2 (5)
    donc
    n5−n≡2−2 (5)n^5-n\equiv 2-2\ (5)n5n22 (5)
    donc
    n5−n≡0 (5)n^5-n\equiv 0 \ (5)n5n0 (5)

    D'où la réponse.

    Tu continues.


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