Etude de la somme de fonctions constantes

Bonsoir,

Je suis actuellement entrain de faire mon dm de math, mais je rencontre un petit soucis sur un des derniers exercices. L'exercice est composé d'un vrai/faux et on me demande :
si u et v qui sont des fonctions constante sur un même intervalle I alors u+v est constante sur I.
Je pense que c'est vrai, cependant je ne sais pas comment le justifier...

Quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plaît ?

Bonjour,
u est constante sut I : cela veut dire que pour tout x de I, u(x) = k (nombre indépendant de x; par exemple, u(x) = 3).
De même pou v :pour tout x de I, v(x) = h (en général différent de k).
Que vaut (u+v)(x) ?

(u+v)(x) = u(x)+v(x) ?

Oui, par définition, mais puisque u(x) = k et que v(x) = h, remplace.

(u+v)(x) = k+h

Exact.
Maintenant, réfléchis bien avant de répondre à cette question :
Cette égalité (u+v)(x) = k+h est-elle vraie pour toutes les valeurs de x dans I, ou seulement pour certaines d'entre elles ?
Il faudra évidemment justifier ta réponse.

Une fonction monotone sur un intervalle I est une fonction croissante sur I ou décroissante sur I. Donc c'est faux, car si u est croissante et v décroissante, la somme des deux (u+v)(x)=k+h donc la fonction ne sera pas monotone...c'est cela ?

Il y a un soucis dans ton raisonnement.
Voilà une autre approche pour traiter le problème : par l'absurde. Suppose que u+v n'est pas une fonction constante. De fil en aiguilles (a toi de jouer) tu peux aboutir au fait que u et/ou v n'est pas constante ; ce qui est contraire a ton hypothèse --> c'est une contradiction. Donc cela veut dire que u+v doit être une fonction constante

A Kiriiikou :
Il n'est pas question ici de fonctions monotones, mais constantes.
Peut-être veux-tu dire qu'on peut trouver deux fonctions monotones dont la somme est constante ?
Mais ce n'est pas la question : u et v sont constantes. Prends un exemple numérique :
I = [2;5]
u(x) = 2 pour n'importe quel x de I
v(x) = -3 pour n'importe quel x de I
Trace les représentations graphiques de u et v sur le même repère.
Détermine la fonction somme : u+v.

A Galzra :
Bonjour,
Comment effectuer ton raisonnement par l'absurde sans démontrer auparavant que la différence d'une fonction non constante et d'une fonction constante est non constante ?

Excusez-moi, il y a une erreur dans l'énoncé. En effet, on ce ne sont pas des fonctions constantes mais monotones. Est-ce que ça change quelque chose ?

Bien sûr que ça change tout.
Redonne ton énoncé exact.

Si u et v sont deux fonctions monotones sur un même intervalle I alors la somme des deux f=u+v est monotone sur ce même intervalle. Cet affirmation est fausse, et je dois trouver un contre-exemple

En effet, un tel contre-exemple est facile à trouver.
Par exemple, si u(x) = x sur [-1;0], tu pourrais choisir v(x) = x² sur le même intervalle.
Étudie sur cet intervalle les variations de u,v, et u+v.

Pour u(x), sur [-1;0], la fonction est décroissante et négative ou nulle
Pour v(x), sur [-1;0], la fonction x² est positive et croissante
donc u+v ne peut pas être monotone ?

Tes variations de u et v sont fausses.
Fais un tableau de valeurs, trace les représentations graphiques (sur le même dessin).
N'oublie pas que l'ensemble de définition est ici restreint à l'intervalle [-1;0].

En traçant les deux fonctions, je remarque que sur l'intervalle [-1;0], u(x) est croissante, et v(x) décroissante. En 0, elles se coupent.
Pour x=-1, u(x) =-1
v(x) =1
Pour x=0, u(x) =0
v(x)=0
Si on additionne les 2, sur l'intervalle I, la fonction f=u+v, est décroissante puis croissante

Exact.
Peux-tu préciser la formule donnant u(x)+v(x) et être plus précis quant à ses variations (tableau).

(u+v)(x) = u(x) + v(x)
f= x²+x
Grâce au tableau de variation on voit que, la fonction est décroissante jusque -0.5 puis en suite elle devient croissante

C'est exact.

Merci !

De rien.