Dérivation et équation de la tangente de la courbe d'une fonction en un point

Bonjour, tout d'abord merci de lire mon post.
Pendant mes vacances je cherche à faire un exercice de maths pour la rentrée sur les dérivations mais je n'y arrive pas pour une raison simple, une fraction me bloque.
Voici le sujet :
On considère la fonction f(x) = -10/3x+2 définie sur R+.

*Déterminer le nombre dérivé de la fonction f en 1.

*Déterminer alors l'équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f en 1.

En cours nous n'avons jamais eu à faire à une fonction avec une fraction, et elle me bloque je ne sais pas par où commencer.

Voila, merci d'avoir lu mon post et désolé si mon message est confus, je ne sais pas très bien m'expliquer.

Theo.

Bonjour,

Quelques précisions à nous donner.

Mets suffisamment de parenthèses pour clarifier l'expression:

Est-ce

$f(x)=−103x+2f(x)=\frac{-10}{3x+2}$

ou

$f(x)=−103x+2f(x)=\frac{-10}{3x}+2$

2)Connais-tu les formules usuelles de dérivées donnant f'(x) ou connais-tu seulement le définition de dérivée ?

Merci pour votre réponse

Tout d'abord la formule est bien la première que vous avez proposé

Ensuite nous avons rapidement évoqué f'(x) pour l'équation de la tangente

J'en déduis, sans certitude, que tu n'as pas les formules usuelles de dérivées.

Si c'est le cas, peut-être comprends-tu :

$f′(1)=lim⁡x→1f(x)−f(1)x−1f'(1)=\lim_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$

A la fin du calcul, tu devrais trouver f'(1)=6/5

Ou alors, ce qui revient au même, tu as peut-être une formule avec des "h" ?

Précise.

Nous avons écrit un paragraphe sur cette formule mais que je n'ai pas vraiment compris :

Lorsque le nombre L existe, on dit que L est le nombre dérivé de la fonction f en a. On note :

f'(a) = lim f (a+h)-f(a)/h = L

D'accord, c'est donc la formule ave "h" que tu as vu.

Attention : pour f'(a) , il faut prendre la limite du quotientlorsque h tend vers 0

Ici, a=1

Tu exprimes $f(1+h)−f(1)h\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$

Tu le simplifies

Ensuite, tu fais tendre h vers 0 ( et tu trouveras f'(1)=6/5)

Désolé mais je ne comprends pas ce qu'est la limite du quotient lorsque h tend vers 0.

Il faudra que tu revois ton cours...ou que ton professeur t'explique ce que représente le quotient puis le nombre dérivé.

Commence à faire les calculs du quotient, tu verras la limite ensuite.

$f(1+h)=−103(1+h)+2=−103h+5f(1+h)=\frac{-10}{3(1+h)+2}=\frac{-10}{3h+5}$

$f (1) = - 2$

$f(1+h)−f(1)h=.................\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=.................$

Calcule et simplifie par h (car h "s'approche" de 0 mais ne vaut pas 0)

Tu dois trouver :

$f(1+h)−f(1)h=63h+5\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{6}{3h+5}$

Lorsque h prend des valeurs de plus en plus "proches" de 0, 6/(3h+5) prend des valeurs de plus en plus "proches" de 6/5

$L=f′(1)=65L=f'(1)=\frac{6}{5}$

Lorsque tu auras trouver f'(1), tu appliqueras la formule de ton cours pour l'équation de la tangente :

$y = f^{'} (1) (x - 1) + f (1)$

Bon travail.