algèbre linéaire matrice


  • L

    Bonjour
    Est ce que vous pouvez m'expliquer svp pourquoi les matrices symétriques de taille n*n sont de dimension n(n+1)/2 ? et les matrices antisymétrique de dimension n(n-1)/2 ???

    Merci d'avance


  • mtschoon

    Bonjour,

    Je suppose que tu parles de la dimension de Sn (sev des matrices symétriques) et de celle de An (sev des matrices antisymétriques)

    Pistes à expliciter

    Toute matrice de Sn est caractérisée par
    n coefficients sur la ligne 1
    (n-1) coefficients sur la ligne 2
    ...
    2 coefficients sur la ligne n-1
    1 coefficient sur la ligne n

    1+2+...+(n−1)+n=n(n+1)21+2+...+(n-1)+n=\frac{n(n+1)}{2}1+2+...+(n1)+n=2n(n+1)

    dimsn=n(n+1)2dims_n=\frac{n(n+1)}{2}dimsn=2n(n+1)

    Toute matrice de An a des zéros sur la diagonale

    Toute matrice de An est caractérisée par
    (n-1) coefficients sur la ligne 1
    (n-2) coefficients sur la ligne 2
    ...
    1 coefficient sur la ligne n-1
    0 coefficient sur la ligne n

    1+2+...+(n−1)=(n−1)n21+2+...+(n-1)=\frac{(n-1)n}{2}1+2+...+(n1)=2(n1)n

    diman=(n−1)n2dima_n=\frac{(n-1)n}{2}diman=2(n1)n

    Vérification :

    An et Sn sont deux sev suppémentaires de Mn ( espace vectoriel des matrices carrées)

    On doit avoir :

    dimsn+diman=dimmndims_n+dima_n=dimm_ndimsn+diman=dimmn

    C'est bien le cas car :

    n(n+1)2+(n−1)n2=n2\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n-1)n}{2}=n^22n(n+1)+2(n1)n=n2


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