Déterminer une base et la dimension d'un espace vectoriel

[am9511]

Bonsoir,

Je voudrais savoir :

• Comment on détermine une base et une dimension de :
  {(x,y,z)∈R∧3 l 2x-y+3z=0}
• Comment on montrer qu'il s'agit d'un sev de R^4 et donner une base :
  {(x1,x2,x3,x4) ∈ R^4 l x1-x2 +2x3-4x4=0}

[mtschoon]

Bonjour,

Quelques indications possibles,

Pour la 1)

Par exemple,

2x-y+3z=0 <=> y=2x+3z

Tu peux écrire (avec $t_1$ et $t_2$ réels

$\left{x=t_1\y=2t_1+3t_2\z=t_2\right$

$\left{x=1t_1+0t_2\y=2t_1+3t_2\z=0t_1+1t_2\right$

Tu justifie que les vecteurs u=(1,2,0) et v=(0,3,1) forment unebase(partie libre et génératrice)

La dimension est donc 2

Pour la 2)

Tu justifies la stabilité pour l'addition et pour la multiplication par un scalaire ( ou la stabilité par combinaison linéaire si tu préfères)

Par exemple pour l'addition :

Soit (x1,x2,x3,x4) et (x'1,x'2,x'3,x'4) deux éléments

$x_1-x_2+2x_3-4x_4=0x_1^{\prime }-x_2^{\prime }+2x_3^{\prime }-4x_4^{\prime }=0$

En ajoutant membre à membre:
$(x_1+x_1^{\prime })-(x_2+x_2^{\prime })+2(x_3+x_3^{\prime })-4(x_4+x_4^{\prime })=0$

donc...............

Ensuite, pour la dimension (même idée qu'à la question précédente)

Par exemple,

$x_1=x_2-2x_3+4x_4$

Tu peux écrire (avec $t_1$, $t_2$ et $t_3$ réels

$\left{x_1=t_1-2t_2+4t_3\x_2=t_1\x_3=t_2\x_4=t_3\right$

Tu en déduis 3 vecteurs formant une base d'où la dimension 3

[am9511]

Merci pour ton aide

[mtschoon]

De rien !

Bon travail.