Démontrer qu'une suite est arithmétique


  • A

    Bonjour, j'ai un exercice que je dois faire, j'ai répondue mais avec incertitude, pouvez-vous m'aider ?

    J'ai :

    un+1=4un−1un+2un+1=\frac{4un-1}{un+2}un+1=un+24un1

    Ainsi que : vn=1un−1vn = \frac{1}{un-1}vn=un11

    Je dois démontrer que Vn est aritméthique.

    Voilà comment j'ai procédé :

    vn=1un−1→vn+1=1(un+1)−1=14un−1un+2−1=14un−1−(un+2)un+2=14un−1−un−2un+2=13un−3un+2=un+23un−3vn=\frac{1}{un-1}\rightarrow vn+1=\frac{1}{(un+1)-1}=\frac{1}{\frac{4un-1}{un+2}-1}=\frac{1}{\frac{4un-1-(un+2)}{un+2}}=\frac{1}{\frac{4un-1-un-2}{un+2}}=\frac{1}{\frac{3un-3}{un+2}}=\frac{un+2}{3un-3}vn=un11vn+1=(un+1)11=un+24un111=un+24un1(un+2)1=un+24un1un21=un+23un31=3un3un+2

    Voilà la partie dont je ne suis pas certaine :

    un+23un−3=(−13)−(1un−1)=−13−vn\frac{un+2}{3un-3}=(\frac{-1}{3})-(\frac{1}{un-1})=\frac{-1}{3}-vn3un3un+2=(31)(un11)=31vn

    Est-ce bien cela ?


  • mtschoon

    Bonjour,

    La dernière ligne est fausse.

    un+23(un−1)=13+1un−1=13+vn\frac{u_n+2}{3(u_n-1)}=\frac{1}{3}+\frac{1}{u_n-1}=\frac{1}{3}+v_n3(un1)un+2=31+un11=31+vn


  • A

    J'y ai pensée mais en développant le résultat je retombe pas sur "Un+2" mais sur "Un" est-ce normal ?


  • N
    Modérateurs

    Bonjour alithekpop,

    Vérifie tes calculs, tu dois trouver le résultat.


  • mtschoon

    Je ne comprends pas ce que tu veux dire...

    Il n'est pas ici question de "penser" mai de "compter".

    vn+1=vn+13v_{n+1}=v_n+\frac{1}{3}vn+1=vn+31

    (Vn(V_n(Vn) suite arithmétique de raison 1/3

    J'ignore le premier terme...Tu dois avoir U0U_0U0 ce qui te permet de calculer V0V_0V0


  • A

    Ce que je voulais dire c'est que (1/3)+Vn quand je développe je ne retombe pas sur Un+2/(3Un-1) puisque cela me donne Un/3Un-3 (ça me permet de vérifier si je ne me suis pas trompée en simplifiant) , j'ai vérifiée mes calculs mais je trouve pareil.


  • N
    Modérateurs

    Indique tes calculs, tu dois oublier le facteur 3.


  • mtschoon

    Je te fais la vérification...

    13+vn=13+1un−1=un−1+33(un−1)=un+23(un−1)=un+23un−3\frac{1}{3}+v_n=\frac{1}{3}+\frac{1}{u_n-1}=\frac{u_n-1+3}{3(u_n-1)}=\frac{u_n+2}{3(u_n-1)}=\frac{u_n+2}{3u_n-3}31+vn=31+un11=3(un1)un1+3=3(un1)un+2=3un3un+2

    CQFV


  • A

    Merci mtschoon et Noémie, je viens de comprendre mon erreur !


  • mtschoon

    C'est bien si tu as compris ton erreur .

    Bonne suite !


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