série de fonctions


  • M

    Bonjour,

    Je bloque sur cet exo:

    On considere la fonction:

    x-->e−xe^{-x}exxkx^kxk/k! , k allant de 0 à n

    définie sur [0,1]

    1. Montrer que |f '(x)|≤1/n!

    En appliquant l'inégalité des accroissements finis, montrer que:|1/2Un - 1|≤1/n!

    Puis conclure quand à la limite de Un

    3)Montrer que e est un nombre irrationnel
    Merci d'avance!


  • mtschoon

    Bonjour,

    Je regarde le début,

    Je suppose que $f(x)=e^{-x}\bigsum _0^n \frac{x^k}{k!}$

    en utilisant la dérivée d'un produit :

    f′(x)=−e−x(1+x+x22!+...+xnn!)+e−x(1+x+x22!+...+xn−1(n−1)!)f'(x)=-e^{-x}(1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!})+e^{-x}(1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!})f(x)=ex(1+x+2!x2+...+n!xn)+ex(1+x+2!x2+...+(n1)!xn1)

    En simplifiant, tu dois trouver, sauf erreur :

    f′(x)=e−x(−xnn!)f'(x)=e^{-x}(-\frac{x^n}{n!})f(x)=ex(n!xn)

    Pour x ∈ [0,1]

    ∣f′(x)∣=e−x(xnn!)|f'(x)|=e^{-x}(\frac{x^n}{n!})f(x)=ex(n!xn)

    0 < e−xe^{-x}ex ≤ 1

    0 ≤ xnx^nxn ≤ 1

    Donc :

    ∣f′(x)∣≤1n!|f'(x)| \le \frac{1}{n!}f(x)n!1

    Ensuite, que vaut UnU_nUn ? ? ? je ne le vois pas écrit .


  • M

    Un=1+1/1!+1/2!+....+1/n!
    Comment vous avez fait pour dériver la somme ∑x^k/k! ?


  • mtschoon

    Si ça t'arrange, j'explicite un peu la dérivée de$\bigsum_0^n\frac{x_k}{k!}$

    $\bigsum_0^n\frac{x_k}{k!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}+\frac{x^n}{n!}$

    La dérivée d'une somme est la somme des dérivées.

    $(\bigsum_0^n\frac{x_k}{k!})'=\bigsum _0^n(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}+\frac{x^n}{n!})'$

    $(\bigsum_0^n\frac{x_k}{k!})'=\bigsum _0^n(0+1+\frac{2x}{2!}+\frac{3x^2}{3!}+...+\frac{(n-1)x^{n-2}}{(n-1)!}+\frac{nx^{n-1}}{n!})$

    Tu simplifies (chaque factorielle a une simplification avec le numérateur
    car k!=(k−1)!×kk!=(k-1)!\times kk!=(k1)!×k )

    $(\bigsum_0^n\frac{x_k}{k!})'=\bigsum _0^n(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^{n-2}}{(n-2)!}+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!})$

    Une remarque pour la conclusion de la 1)

    La formule que tu as écrite est fausse .
    Ce n'est pas 1/2 mais 1/e dans cette inégalité.

    Vu que ∣f′(x)∣≤1n!|f'(x)| \le \frac{1}{n!}f(x)n!1, l'inégalité des accroissements finis sur [0,1] te permet d'écrire :

    ∣f(1)−f(0)∣≤1n!|f(1)-f(0)| \le \frac{1}{n!}f(1)f(0)n!1

    Après calculs, tu obtiens :

    $\fbox{|\frac{u_n}{e}-1| \le \frac{1}{n!}}$

    Tu peux prouver aisément que la limite de (Un) est e

    $\fbox{\lim_{n\to +\infty}\bigsum_0^n \frac{1}{k!}=e}$

    Tu peux écrire :

    $\fbox{\bigsum_0^{+\infty}\frac{1}{k!}=e}$


  • M

    D'accord!
    Merci beaucoup pour votre aide!


  • mtschoon

    De rien .

    Bon DM !


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