Déterminer la parité, les limites aux bornes, la dérivée première et seconde d'une fonction exponentielle


  • W

    Bonjour ! Pourriez-vous me corriger s'il vous plait ? Merci !

    f(x) = x³.e∣x∣e^{|x|}ex

    a) Déterminer la parité

    b) Limites aux bornes

    c) Dérivée première/seconde

    d)Esquisse du graphe

    Moi :

    a) impaire car f(-x) = f(x)

    b) lim±∞ = ∞.0 = x³/ex/e^x/ex=∞/∞ (Hospital)

    = 3x²/ex/e^x/ex = ∞/∞

    = 6/e−x6/e^{-x}6/ex = O

    c) Dérivée première :
    Si x>0

    f'(x) = (x3.e−xe^{-x}ex)' = 3x².e−xe^{-x}ex -x³.exe^xex

    Si x<0

    f'(x) = 3x².e[sup]x[/sup]+x³e[sup]x[/sup]

    c)Dérivée seconde

    si x>0

    f''(x) = x(6e−xx(6e^{-x}x(6ex-6x.exe^xex-x².exe^xex)

    si x<0

    f''(x) = xexxe^xxex(6+6x+x²)

    Voilà, je vous ai pas mis les tableaux de signes etc pour ne pas vous encombrer, et pour que vous puissiez vous retrouvez plus facilement. Merci !


  • mtschoon

    Bonjour,

    Merci pour ta modification.

    a) f impaire ? Oui

    Je regarderai tes réponses de près demain.


  • mtschoon

    Je regarde la suite de tes réponses

    b) A revoir.

    Lorsque x tend vers ±∞, |x| tend vers +∞, x3x^3x3 tend vers ±∞

    La règle de l'Hospital ne s'applique pas ici...

    Tu raisonnes directement.

    Lorsque x tend vers +∞, la fonction tend vers +∞
    Lorsque x tend vers -∞, la fonction tend vers -∞

    c) Dérivée première (après factorisation)

    Pour x positif , |x|=x

    f(x)=x3exf(x)=x^3e^xf(x)=x3ex
    tu dois trouver, f′(x)=(x3+3x2)exf'(x)=(x^3+3x^2)e^xf(x)=(x3+3x2)ex

    Pour x négatif, |x|=-x

    f(x)=x3e−xf(x)=x^3e^{-x}f(x)=x3ex
    tu dois trouver, f′(x)=(−x3+3x2)e−xf'(x)=(-x^3+3x^2)e^{-x}f(x)=(x3+3x2)ex

    Remarque : Pour les variations de f, vu que f est impaire, tu peux travailler seulement sur [0,+∞[ et en déduire, par imparité, les variations sur }-∞,0]

    d) Dérivée seconde (après factorisation )

    Pour x positif

    f′′(x)=x(x2+6x+6)exf''(x)=x(x^2+6x+6)e^xf(x)=x(x2+6x+6)ex

    Pour x négatif

    f′′(x)=x(x2−6x+6)exf''(x)=x(x^2-6x+6)e^xf(x)=x(x26x+6)ex


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