Inégalité avec valeurs absolues
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Kking07 dernière édition par Hind
Bonsoir a tous
j'ai besoin de votre aide
Exercice
Soit a∈R{0} et x∈R tel que |x−a|<|a|. Montrer que :- x≠0.
- x est du signe de a.
pour
1 si x=0 alors |-a|<|a| on a donc une strict infériorité impossible d'où différents de 0.
une indication pour 2 svp
et merci
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mtschoon dernière édition par
Bonsoir king07,
Une piste possible pour la 2.
∣x−a∣<∣a∣↔(x−a)2<a2↔(x−a)2<a2↔(x−a)2−a2<0|x-a| \lt |a| \leftrightarrow \sqrt{(x-a)^2} \lt \sqrt{a^2} \leftrightarrow (x-a)^2 \lt a^2 \leftrightarrow (x-a)^2-a^2 \lt 0∣x−a∣<∣a∣↔(x−a)2<a2↔(x−a)2<a2↔(x−a)2−a2<0
Après simplification-fartorisation
∣x−a∣<∣a∣↔x(x−2a)<0|x-a| \lt |a| \leftrightarrow x(x-2a) \lt 0∣x−a∣<∣a∣↔x(x−2a)<0
Tu fais deux tableaux de signe : un pour a > 0 et l'autre pour a < 0
Je te fais celui correspondant à a > 0 (donc 2a > 0)
$\begin{tabular} {c|cccc} x&-\infty&&&0&&&&2a&&&&&+\infty&\ \hline x&&-&&0&&+&&&&&+\ (x-2a)&&-&&&&-&&0&&&+\ \hline x(x-2a)&&+&&0&&-&&0&&&+ \end{tabular}$
Conclusion de ce cas : 0 < x < 2a donc nécessairement x > 0
Tu fais le cas a < 0 (donc 2a < 0) et tu trouveras 2a < x < 0 donc nécessairement x < 0
D'où la conclusion souhaitée.