Matrice



  • Hello,
    Comme l'indique le titre j'ai un exo sur les matrices qui me perturbe assez... Voici le début de l'énoncé :

    On désigne E l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2 de la forme (aamp;c 0amp;b)\begin{pmatrix} a & c\ 0 & b \end{pmatrix} iù a, b et c sont des nombres réels.

    I.

    1. a) Démontrer que E, muni de l'addition des matrices et de leur produit par un scalaire est un espace vectoriel réel.
      Donc voilà ce que j'ai fait, j'ai utilisé le th. de caractérisation pour montrer que E est un sev.
      J'ai écrit :
      E ⊂ M2M_2(R)
      E différent de l'ensemble vide car la matrice nul ∈ à E
      Mq E est stable par combinaison linéraire
      Soient λ,μ ∈ R
      a=(a1amp;a2 a3amp;a4)a = \begin{pmatrix} a1 & a2 \ a3 & a4 \end{pmatrix}
      b=(b1amp;b2 b3amp;b4)b = \begin{pmatrix} b1 & b2 \ b3 & b4 \end{pmatrix}

    Mq λA + μB ∈ E
    Donc j'ai calculé, j'ai obtenu la matrice λA + μB = (λa1+μb1amp;λa2+μb2 λa3+μb3amp;λa4+μb4)\begin{pmatrix} \lambda a1 + \mu b1 &\lambda a2 + \mu b2 \ \lambda a3 + \mu b3 & \lambda a4 + \mu b4 \end{pmatrix}

    Jusque là, je ne pense pas avoir fait d'erreurs grossières...
    Mais c'est par la suite où je bloque, pour montrer que λA + μB ∈ E
    J'ai pensé par contre à poser, a = λa1 + μb1, b = λa3 + μb3 ect..
    Est-ce que c'est possible ?

    J'espère avoir été un minimum compréhensible, j'attends de l'aide de votre part...
    Merci d'avance.

    😄


  • Modérateurs

    Bonsoir Veitchii,

    A quelle condition les matrices A et B appartiennent elles à E ?



  • Bonsoir Noémie,

    Elles appartiennent à E lorsque a3 et b3 valent zéro.

    Et donc, que peut-on conclure à partir de cela je ne vois pas..


  • Modérateurs

    Bonjour ( je ne fais que passer)

    Vu que a3a_3=0 et b3b_3=0, λa3a_3b3b_3=..... donc ......


  • Modérateurs

    Remarque : Au lieu de te compliquer, tu aurais pu, tout simplement prendre:

    a=(a1 a2\0  a4)a=\left( a_1\ a_2\0\ \ a_4\right)

    b=(b1 b2\0  b4)b=\left( b_1\ b_2\0\ \ b_4\right)

    En calculant λA +μB, la justification de la stabilité est ainsi immédiate



  • Ha oui c'est vrai... Merci à toi mtschoon

    1. b. Trouver une base et la dimension de E.
      ça c'est bon

    2. c. Démontrer que E est stable pour la multiplication des matrices.

    Là je vous avoue que j'ai pas réussi, mais j'ai tenté plusieurs choses. En effet, j'ai pris la matrice et je les multiplié par une autre matrice, et je suis retombé sur la même. Dans un sens et dans l'autre càd que j'ai noté :

    a=(aamp;c bamp;0)a = \begin{pmatrix} a &c \ b & 0 \end{pmatrix} et je les multiplié par une autre matrice et je suis tombé sur une matrice d'ordre 2 appartenant à l'ensemble E. Mais, je pense que ce que j'ai fait est un exemple et non une preuve pour répondre à la question...

    J'espère avoir été clair...
    Merci d'avance.


  • Modérateurs

    Pour la stabilité pour la multiplication des matrices dans E , utilise le même principe que pour la stabilité par combinaison linéaire.

    a=(a1 a2\0  a4)a=\left( a_1\ a_2\0\ \ a_4\right)

    b=(b1 b2\0  b4)b=\left( b_1\ b_2\0\ \ b_4\right)

    Tu calcules A x B avec la méthode usuelle.

    Tu trouves :

    a×b=(... ...\0  ...)a \times b=\left( ...\ ...\0\ \ ...\right)

    donc

    a×bea \times b \in e



  • D'accord, c'est ce dont j'avais pensé merci à vous !

    II.

    Soit a=(aamp;c 0amp;b)a = \begin{pmatrix} a &c \ 0 &b \end{pmatrix} ∈ E

    1. (a) On suppose a ≠ b. Démontre que ∀p ∈ NN^*, ap=(apamp;capbpab 0amp;bp)a^{p} = \begin{pmatrix} a^{p} &c\frac{a^{p}-b^{p}}{a-b} \ 0 & b^{p} \end{pmatrix}

    ça c'est OK, j'ai fait une récurrence.

    (b) On suppose que a = b. Calculer ApA^p pour p ∈ NN^* ; on exprimera les coefficient de a et c.

    ça aussi c'est OK normalement.

    1. Pour tout n ∈ NN^*, on pose BnB_n = 1p!ap=(αnamp;γn 0amp;βn)\sum{\frac{1}{p!}}a^{p} = \begin{pmatrix} \alpha _{n} & \gamma _{n}\ 0& \beta _{n} \end{pmatrix} en convenant que A0A^0 = I2I_2 et pour tout x réel,

    φn_n(x) = 1 + x/1! + x²/2! +....+ xnx^n/n! = ∑xkx^k/k!

    (a) Rappeler l'inégalité de Taylor - Lagrange avec ses hypothèses.
    Ça c'est ok, c'est du cours.

    (b) Démontrer que, pour tout x fixé, la suite de terme général φn_n(x) converge et que sa limite est exe^x.
    Pour cette question, j'ai appliqué la démonstration que nous avions fait en sup (1 ère année) sur le cours des séries.

    (c) On suppose a ≠ b.
    Calculer αn_n, βn_n et γn_n en fonction a, b, c, φn_n(a) et φn_n(b). Démontrer que les suites (α$$_n$)_n,(β, (βn_n)_n$ et (γ$$_n$)_n$ ont des limites respectives α, β, γ que l'on calculera.
    J'ai trouvé qqchose aussi là.

    1. Pour tout A = (la même matrice qu'au début) ∈ E, on pose A' = (αamp;γ 0amp; β)\begin{pmatrix} \alpha &\gamma \ 0 & \ \beta \end{pmatrix}, où α,β et γ ont été définis à la question II. 2, et on note f l'application de E dans E définie par f(A) = A'.

    (a) L'application f est-elle linéaire ?
    J'ai d'abord vérifié que f(0) = 0, f(λB) = λf(B), et f(B+C) = f(B) + f(C). C'est bien égale.
    Maintenant, je veux le montrer que f est une AL.
    J'ai écrit cela,
    Soient λ, μ ∈ mathbbRmathbb{R}
    a=(a1amp;a2 0amp;a3)a = \begin{pmatrix} a_{1} &a_{2} \ 0 & a_{3} \end{pmatrix}
    b=(b1amp;b2 0amp;b3)b = \begin{pmatrix} b_{1} &b_{2} \ 0 & b_{3} \end{pmatrix}

    Mq f(λA + μB) = λf(A) + μf(B)

    f((λa1+μb1amp;λa2+μb2 0amp;λa3+μb3)f(\begin{pmatrix} \lambda a_{1}+\mu b_{1} &\lambda a_{2} + \mu b_{2} \ 0 & \lambda a_{3} + \mu b_{3} \end{pmatrix} =

    Puis, l'étape d'après, il faut appliquer f... C'est bizarre, mais c'est là ou je bloque... Peut-être que je me suis trompé dès le début ? Mais je ne pense pas, vu que c'est toujours la même chose le début...

    En attente de pistes, j'espère avoir été clair...
    Merci. 😉


  • Modérateurs

    Si tu as démontré que pour tout B et tout C :
    f(λB)=λf(b) (propriété i)
    f(B+C)=f(B)+f(C) (propriété ii),
    en appliquant la définition usuelle, f est linéaire (ça doit être dans ton cours)

    Tu n'as rien d'autre à faire pour justifier que f est linéaire.

    Si tu veux calculer f(λB+μC), il te suffit d'utiliser les deux propriétés i et ii que tu as démontrées.

    Avec ii

    f(λb+μc)=f(λb)+f(μc)f(\lambda b+\mu c)=f(\lambda b)+f(\mu c)

    Avec i

    f(λb)=λf(b) f(μc)=μf(c)f(\lambda b)=\lambda f(b) \ f(\mu c)=\mu f(c)

    D'où

    f(λb+μc)=λf(b)+μf(c)f(\lambda b+\mu c)=\lambda f(b)+\mu f(c)


 

Découvre aussi nos cours et fiches méthode par classe

Les cours pour chaque niveau

Encore plus de réponses par ici

Il semble que votre connexion ait été perdue, veuillez patienter pendant que nous vous re-connectons.