Exercice sur les suites



  • Bonjour, j'ai un petit problème sur un exercice si vous voulez bien m'aider s'il vous plaît:

    Soit a un réel tel que -1<a<0. On considère la suite u définie par u0=a et pour tout entier naturel n, un+1=un²+un.

    1. Etudier la monotonie de la suite u.

    Ma réponse:

    La suite est croissante car
    un+1-un=un².

    2)Soit h la fonction définie sur R par h(x)=x2+x. Etudier le sens de variation de h sur R. En déduire que si :
    x appartient à ]-1;0[, alors h(x) appartient à ]-1;0[.

    Ma réponse:

    j'étudie la dérivée de h(x) : h'(x)
    h'(x)=2x+1
    h'(x)=0 si x -1/2

    je fais le tableau de variation:
    x: - l'infini -1/2 + l'infini
    h'(x): - 0 +
    h(x) : (flèche vers le bas) -3/4 (flèche vers le haut)

    ]-l'infini ; -1/2[U]-1/2 ; +l'infini[

    Pour x = -1 ou x=0 on a h(x)=0 de plus on sait que le sommet de la courbe est S=0>-3/4>-1.
    Donc pour tout x appartient à ]-1;0[ on a h(x) appartient à ]-1;0[

    1. Montrer que pour tout entier n, on a : -1<un<0.

    Ma réponse:

    Par récurrence :

    Initialisation : -1<a<0 donc -1

    Hérédité : supposons que pour tout entier naturel -1<Un<0

    alors -1< h(Un)<0 (d'après la question 2))
    c'ad -1<Un² + Un <0

    donc -1 < Un+1 < 0
    Un est héréditaire.
    Conclusion : Pour tout entier n appartenant à N on a -1<Un<0

    1. Etudier le comportement à l'infini de la suite u
      Un se trouve entre -1 et 0 donc la limite de cette suite est 0
      Je ne sais pas si c'est la bonne raison
      Merci de votre aide;

  • Modérateurs

    Bonjour elevedeseconde,

    1. Précise que Un² >0
    2. Vérifie le calcul pour x = -1/2


  • D'accord merci, sinon le reste est bien executé ?


  • Modérateurs

    Pour le reste, les résultats sont corrects.


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