Déterminer les coordonnées et forme trigonométrique dans le plan complexe


  • I

    Bonjour !
    J'aurais besoin de votre aide sur cet exercice.
    Soit f l'application de E=c−−idanscc-{-i} dans ccidansc définis par
    z→f(z)=izz+1z \rightarrow f(z)=\frac{iz}{z+1}zf(z)=z+1iz

    Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé (o,i,j) on note M le point d'affixe z.

    1. Déterminer les coordonnées du point B dont zoz_ozo est telle que f(zof(z_of(zo)=1+2i.
      J'ai trouvé zoz_ozo=(1/2)-(3/2)i cela veut dire B(1/2;-3/2).
    2. Soit z un élément de E.On note rrr le module de z+iz+iz+i et ppp une mesure de son argument.
      Exprimez la forme trigonométrique de f(z)−if(z)-if(z)i en fonction de rrr et de ppp.
      3)Soit A le point d'affixe -i.
      a)Déterminer l'ensemble (C) des points M vérifiant ∣f(z)−i∣=2|f(z)-i|=\sqrt 2f(z)i=2 et l'ensemble (D) des points M tels que π/4 soit une mesure principal de l'argument de f(z)−if(z)-if(z)i.
      b)Montrer que B ∈ (C) et (D).

  • mtschoon

    Bonjour,

    Quelque chose est bizarre dans l'énoncé que tu donnes.

    Avec le f(z) qui tu indiques, la condition d'existence est z+1≠0, c'est à dire z≠-1

    Alors, f est une application de C-{-1} dans C et non de C-{-i} dans C

    ? ? ?

    Merci de vérifier.


  • I

    Vous m'excusez, c'est exactement C-{-1}.


  • mtschoon

    D'accord.

    Revois z0z_0z0 ; Il doit y avoir des confusions.


  • I

    f(zof(z_of(zo)=1+2i ⇔iziziz_o=(zo=(z_o=(zo+1)(1+2i)
    iziziz_o=z=z=z_o+2izo+2iz_o+2izo+1+2i
    (1+i)zo(1+i)z_o(1+i)zo=-1-2i
    zoz_ozo=(−1−2i)(1−i)2\frac{(-1-2i)(1-i)}{2}2(12i)(1i)
    =−1+i−2i−22\frac{-1+i-2i-2}{2}21+i2i2
    =−32−12i-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}i2321i


  • mtschoon

    Ta dernière réponse est bonne.

    Je regarde l'énoncé de la 2) et je suis perplexe.

    Es-tu sûr(e) qu'il s'agit du module et de l'argument dez+iz+iz+i ?


  • I

    Toute mes excuses,je viens de regarder l'énoncé
    J'ai fais trop de faute.
    f est définis de C-{-i} dans C.
    z→f(z)=izz+iz \rightarrow f(z)=\frac{iz}{z+i}zf(z)=z+iiz
    zoz_ozo=(1/2)-(3/2)i


  • mtschoon

    Avec ce nouvel énoncé écrit, z0z_0z0 est bon.


  • I

    f(z)−i=izz+i−if(z)-i=\frac{iz}{z+i}-if(z)i=z+iizi
    =1z+i\frac{1}{z+i}z+i1

    ∣f(z)−i∣=∣1z+i∣|f(z)-i|=|\frac{1}{z+i}|f(z)i=z+i1
    =1∣z+i∣\frac{1}{|z+i|}z+i1
    =1r\frac{1}{r}r1

    arg(f(z)−i)=arg(1z+i)arg(f(z)-i)=arg(\frac{1}{z+i})arg(f(z)i)=arg(z+i1)
    =−arg(z+i)-arg(z+i)arg(z+i)
    =−p-pp
    D'où :
    f(z)−i=1r(cos(−p)+isin(−p))f(z)-i=\frac{1}{r}(cos(-p)+isin(-p))f(z)i=r1(cos(p)+isin(p))


  • mtschoon

    c'est bon pour la forme trigonométrique de f(z)-i


  • I

    Bonjour !
    Pour 3.a
    ‘∣f(z)−i∣=` |f(z)-i|=f(z)i=√2⇔⇔1r=\frac{1}{r}=r1=√2
    r=r=r=√2/2
    D'où l'ensemble (C) des points M est le cercle de centre O et de rayon √2/2.
    arg(f(z)−i)=arg(f(z)-i)=arg(f(z)i)=π/4+2kπ⇔−p=-p=p=π/4+2kπ
    p=p=p=-π/4-2kπ.
    Soit B(1-i) l'ensemble (D) des points M est la demi droite [OB).


  • mtschoon

    C'est bon pour le rayon du cercle (C) . Le centre est à revoir.

    (D) est à revoir.
    De plus, tu ne peux pas utiliser le point B dans la construction de (D) vu que B est demandé à la question suivante.

    Pour trouver (D), fais l'interprétation géométrique de arg(z+i)=p=−π4 (2π)arg(z+i)=p=-\frac{\pi}{4}\ (2\pi)arg(z+i)=p=4π (2π)


  • I

    Excuses
    r=r=r=|z+i|=√2/2⇔xxx^2+(y+1)2+(y+1)^2+(y+1)2=1/2.
    L'ensemble (C) des points M est donc le cercle de centre F(0,-1) et de rayon √2/2.
    Est-ce que c'est bon comme ça.


  • mtschoon

    Oui pour (C)

    Même sans passer par la forme analytique, tu aurais pu simplement interpréter le module de (z+i)

    ∣z+i∣=22↔∣z−(−i)∣=22↔am=22|z+i|=\frac{\sqrt 2}{2} \leftrightarrow |z-(-i)|=\frac{\sqrt 2}{2}\leftrightarrow am=\frac{\sqrt 2}{2}z+i=22z(i)=22am=22

    (C) cercle de centre A et de rayon22\frac{\sqrt 2}{2}22


  • I

    Pour 3.b
    zoz_ozo+i=12−32i+i\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i+i2123i+i
    =12−12i\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i2121i
    |zoz_ozo+i|=∣12−12i∣|\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i|2121i
    =√2/2
    D'où B ∈ (C)
    Pour l'argument aussi.
    Merci beaucoup pour votre aide et bonne journée !


  • mtschoon

    De rien !

    J'espère que tu as déterminé (D) correctement en utilisant un argument de (z+i), et trouvé :
    "demi-droite d 'origine A (d'affixe -i) et faisant l'angle de mesure -π/4 avec le vecteur i⃗\vec{i}i de l'axe des réels".


  • I

    Exactement tout marche lorque j'ai fais le graphe .


  • mtschoon

    C'est bien.

    Bonne soirée !


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