Nombres complexes - Equation du 3ème degré

Bonsoir, j'aimerais avoir de l'aide afin de résoudre cette équation s'il vous plaît,

((z-2i)/(z+2i))^3+((z-2i)/(z+2i))^2+((z-2i)/(z+2i))+1 = 0

Je ne vois pas comment procéder si vous pouvez m'aiguiller, merci

Bonsoir,

Cette équation est définie pour z≠-2i

Piste pour démarrer,

Changement d'inconnue $z=z−2iz+2iz=\frac{z-2i}{z+2i}$

Tu résous l'équation auxiliaire

$z^3+z^2+z+1=0$

Pour cela, tu peux facilement factoriser en mettant Z² en facteur dans les deux premiers termes.

$z^2(z+1)+(z+1)=0$

Tu mets ensuite (Z+1) en facteur et tu continues.

Remarque ; tu peux aussi utiliser la formule de la somme des 4 premiers termes de la suite géométrique de 1er terme 1 et de raison Z, mais ce n'est pas plus simple...

Lorsque tu auras trouvé les solutions en Z de l'équation auxiliaire, tu cherches les solutions correspondantes en z avec la formule $z−2iz+2i=z\frac{z-2i}{z+2i}=z$

*Tu peux donner tes réponses si tu as besoin d'une vérification. *

D'accord merci à vous,

Je factorise par (Z+1) cela fait donc : (Z+1)(1+Z²)

Ensuite, je cherche les solutions correspondantes en z ?

Oui pour la (Z+1)(1+Z²)

Tu n'as pas encore trouvé les solutions en Z de l'équation

(Z+1)(1+Z²)=0

C'est ce qu'il faut faire d'abord, avant de déduire les solutions en z.

Lorsque Z = -1 on a alors (Z+1)(1+Z²)=0

Oui pour Z=-1 : c'est le cas Z+1=0

Il te reste le cas 1+Z²=0

1+Z²=0 <=> Z²=-1 <=>Z=.... ou Z=-.....

1+Z²=0 <=> Z²=-1 <=>Z=1 ou Z=-1

Non...Tu confonds avec Z²=1

Tu dois savoir quels sont les nombres complexes dont la carré vaut -1

z=(-i)² = -1 et z=i²= -1

Edit:

Z^3+Z^2+Z+1 = (z^4-1)/(Z-1)

on trouve que la quantité est nulle pour Z^4=1
les nombres complexes tels que z^4 = 1 sont :
(-1) ; 1 ; (-i)^4 ; i^4
donc (Z+1)(1+Z^2) = 0 admet pour solution :
S{(-1) ; (-i)^2. ; i^2}

Je reprends d'abord la première méthode pour résoudre

(Z+1)(1+Z²)=0

Z+1=0 <=>Z=-1
1+Z²=0 <=> Z²=-1 <=>Z=iouZ=-i

Pour répondre à la question proposée par l'énoncé, il te reste à résoudre les 3 équations :
$z−2iz+2i=1\frac{z-2i}{z+2i}=1$
$z−2iz+2i=i\frac{z-2i}{z+2i}=i$
$z−2iz+2i=−i\frac{z-2i}{z+2i}=-i$
Tu trouveras ainsi les 3 solutions (en z) de l'équation de départ

REMARQUE Je ne vois pas trop pourquoi tu changes de méthode...

Si tu veux changer de méthode pour transformer l'équation
$z^3+z^2+z+1=0$ avec une suite géométrique, ta transformation est bonne :

$z4−1z−1=0\frac{z^4-1}{z-1}=0$

Ensuite, tes réponses sont confuses.

Il y a la condition Z≠1 (pour dénominateur non nul)

$Z^4$ -1=0 <=> $Z^4$ =1<=> Z²=1 ou Z²=-1 <=> Z=1 ou Z=-1 ou Z=i ou Z=-i

Comme le solution Z=1 ne convient pas , il reste : Z=-1 ou Z=i ou Z=-i

Tu trouver bien sûr la même chose qu'avec la première méthode et tu dois résoudre les 3 équations indiquées précédemment pour trouver z

(z-2i)/(z+2i) = 1
Je trouve 1 = 4i

(z-2i)/(z+2i) = i
Je trouve z = iz+2i-2

(z-2i)/(z+2i) = -i
Je trouve z = -iz-2i²+2i

Citation
(z-2i)/(z+2i) = 1
Cette équation est impossible ( tu aurais dû trouver 0=4i) mais ce n'est pas un des cas à traiter.
IL faut traiterZ=-1 c'est à dire $z−2iz+2i=−1\frac{z-2i}{z+2i}=-1$

TU dois trouver $z = 0$

Les deux autre calculs ne sont pas terminés car tu obtiens z en fonction de z...
Tu dois transposer pour que les termes en z soient dans le même membre et terminer le calcul.

Je te termine le calcul pour z = iz + 2i - 2

z-iz = 2i - 2 <=>z(1-i)=2i-2

En divisant par (1-i) : $z=2i−21−iz=\frac{2i-2}{1-i}$

En transformant : $z=−2(−i+1)1−iz=\frac{-2(-i+1)}{1-i}$

En simplifiant $z = - 2$

Transforme de la même façon le dernier calcul (tu dois trouver $z = 2$ )

Z = -1 j'obtient

z= -1

C'est faux. Recompte.

$z−2iz+2i=−1↔z−2i=−(z+2i)\frac{z-2i}{z+2i}=-1 \leftrightarrow z-2i=-(z+2i)$

Tu continues. C'est très simple. Tu dois trouver z=0

<=> z-2i = -z-2i
<=> z = -z
<=> z = 0

Oui, mais tu peux détailler plus en transposant

z=-z <=> z+z=0 <=> 2z=0 <=> z=0