Algèbre linéaire Vecteurs

Bonjour j'ai une question sur un exercice.
Ou j'ai la correction mais je ne vois pas comment arriver à ce résultat.

Dans R^3, on considère x=(1,-1,1) et y=(0,1,a) où a ∈R

Donner une condition nécessaire et suffisante sur a pour que u=(1,1,2) appartienne à vect (x,y)
Comparer alors vect(x,y), vect(x,u) et vect (y,u).

Bon WE

Bonjour,

Quelques pistes pour les calculs,

$\in vect(x,y)$

Cela équivaut à dire que U est une combinaison linéaire de x et y

U=αx+βy (avec α, β réels)

(1,1,2)=α(1,-1,1)+β(0,1,a)

(1,1,2)=(α,-α+β,α+aβ)

$\left{\alpha=1\-\alpha+\beta=1\\alpha+a\beta=2$

Après résolution :

$\alpha=1 \ \beta=2 \ \fbox{a=\frac{1}{2}}$

$u=x+2y\fbox{u=x+2y}$

Pour la comparaison à déduire, tu dois trouver que les 3 ensembles sont égaux.

Demande si tu n'arrives pas à le prouver.

merci pour votre aide.
j'arrive bien à a= 1 et Beta= 2

Est-ce que a et $α\alpha$ veulent dire la même chose dans votre notation?

est comment sait-on que que a= $α\alpha$ / Beta ?

a est la notation de l'énoncé ; on n'a pas le droit de la changer.

Pour écrire U en combinaison linéaire de x et y , on prend les notations que l'on veut

J'aurais très bien pu prendre p et q et écrire U=px+qy

Citation
a= \alpha / Betaest fortuit !

Revois les calculs faits pour résoudre le système .

Mais est ce que

α ≠ a ?

Si j'ai bien compris la réponse est oui , car α = $α\alpha$

pour trouver a, il faut juste isoler l'inconnu comme on fait à chaque fois. je crois que c'est la notation qui m'a légèrement perturbé.

Je pense avoir compris, à vous de me le dire

Par contre je ne vois pas encore comment montrer qu'ils sont égaux

J'ai l'impression que tu ne sais pas vraiment résoudre le système...

Je détaille . Tu résous par substitution.

$\left{\alpha=1\-\alpha+\beta=1\\alpha+a\beta=2$

Première ligne: $α=1\alpha =1$ (rien à faire)

Deuxième ligne : tu replaces α par 1, ce qui te donne : $−1+β=1-1+\beta=1$

d'où $β=1+1=2\beta=1+1=2$

Troisième ligne: tu remplaces α par 1 et β par 2, ce qui te donne :

$1 + a (2) = 2$
1+2a=2 <=> 2a=2-1 <=> 2a=1 <=> $a=12a=\frac{1}{2}$

On verra les conséquences quand tu seras sûr d'avoir compris cela.

Bonsoir Mtschoon,
Jusqu'à présent c'est compris
Quand vous parlez de conséquences à quoi cela renvoie t-il?

Cela renvoie à "Comparer alors vect(x,y), vect(x,u) et vect (y,u)"

Pour moi, ils ne sont pas égaux.
Ne connaissant pas la méthode j'ai tenté plusieurs choses( sommes, produit de x avec y.....) sans retomber sur 1 résultat égal au 3

Et si, ils sont bien égaux...

Par double inclusion , je démontre que Vect(x,y)=Vect(x,U)

DEMONSTRATION :

Tu sais que U=1x+2y
De plus, tu peux écrire x=1x+0y
U et x sont des combinaisons linéaires de x,y donc appartiennent à Vect(x,y)
donc : Vect(x,U) est inclus dans Vect(x,y)

Tu sais que y=(-1/2)x+(1/2)U
De plus, tu peux écrire x=1x+0U
x et y sont des combinaisons linéaires de x,U donc appartiennent à Vect(x,U)
donc : Vect(x,y) est inclus dans Vect(x,U)

CONCLUSION : Vect(x,y) = Vect(x,U)

Tu peux faire la même démarche pour prouver que Vect(x,y)=Vect(y,U)

mtschoon

De plus, tu peux écrire x=1x+0y

Comment peut-on arriver à ça?
Mon problème est le u qui disparait

Je t'ai détaillé une "évidence" pour tenter de te faire comprendre que x peut se mettre sous forme de combinaison linéaire de x,y

1x=x
0y=0

donc 1x+0y=x

cette décomposition n'a rien à voir avec U

Bien sûr , ça parait logique.

Merci beaucoup pour tout le temps passé.

Bonne soirée

De rien !

A+