fonction exponentielle



  • Bonjour pouvez-vous m'aider à résoudre cet exercice mais sans l'aide des intégrales.
    l'objet de l'exercice est d'étudier la fonction g définie sur [0,[ par :
    g(t)=(1-e^(-t))/t si t>0 et g(0)=1.

    1.a. établir que g est continue en 0.
    b.déterminer la limite de g en +.
    2.a.Pour tout t>0,1+t<e^t.
    c.en déduire le signe de g' et le sens de variation de g(on ne demande pas de construire la courbe représentative).
    3.on se propose d'étudier la dérivabilité de g en 0. A cet effet on introduit la fonction h définie sur [0,+[ par h(t)=1-t+(t²/2)-e^-t.
    a.calculer h' et h'', ainsi que les valeurs de h(0) et de h'(0).
    b.prouver que pour tout t0 :
    0<h(t)<(t^3)/6. Pour cela, on établira d'abord que 0<h''(t)<t, et on en déduira un encadrement de h' puis de h.
    c.déduire de la relation précédente un encadrement de (1-e^(-t)-t)/t².
    Prouver finalement que g est dérivable en 0 et que g'(0)=-1/2.
    Cette dernière question me pose également quelques problèmes.
    Je vous remercie de votre aide précieuse.


  • Modérateurs

    1. a) Pour cela il suffit de montrer que lim (t->0) g(t) = g(0).
      C'est une forme indéterminée mais il faut utiliser une propriété du cours avec un changement de variable du type X=-t. La limite à connaître est :
      lim (x->0) (e^x-1)/x =1

    La suite un peu plus tard (faut trouver le temps !).... Dis moi exactement ce qui te pose problème ... merci :?


  • Modérateurs

    3)c) Voir formules d'encadrements ci-dessous.

    La dernière question : g est dérivable en 0 si et seulement si :
    lim (t->0) [g(t)-g(0)]/t existe et est finie. L'encadrement de la question précédente permet de dire que cette limite existe, elle est égale à -1/2. Donc g est dérivable en 0 et g'(0)=-1/2.

    Ouf ... ce n'est pas un exercice facile mais qui permet de revoir de nombreuses définitions et propriétés.

    Au plaisir petite Sarah ! 😆


 

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