Montrer qu'en tout point d'une courbe, la tangente est perpendiculaire à la droite OM

[drecou]

Bonjour,
j'aimerai savoir si ce que j'ai fait est bon :

Exercice: Montrer qu'en tout point M de la courbe y=$sqrt$1-x²) , la tangente est perpendiculaire à la droit (OM).
( f(x)=$sqrt$1-x²) )

Reponse:
Pour commencer, je vais calculer l'equation de la tangente au point a:
y=f'(a)(x-a)+f(a)
y=-(a/$sqrt$1-a²))*(x-a) + $sqrt$1-a²)
y=(-a/$sqrt$1-a²))x +(a²/$sqrt$1-a²)) + $sqrt$1-a²)
y=(-a/$sqrt$1-a²))x + (a²+1-a²)/($sqrt$1-a²)) + $sqrt$1-a²)
y=(-a/$sqrt$1-a²))x +1/$sqrt$1-a²)

ensuite je calcul l'equation de la droite (OM):
Soit M(a;f(a)) ;
le coefficient directeur de la droite (OM) est égale à f(a)/a (taux d'acroissement)
De plus, 2 droites sont perpendiculere si le produit de leur coefficient directeur est égale à -1 :
On pose f(a)/a=(alpha)' et (-a/$sqrt$1-a²)) =(alpha)
on calcul:
(alpha)(alpha)'=(-a/$sqrt$1-a²))($sqrt$1-a²)/a)=-1
CQFD

Est-ce juste ?
Merci d'avance.

A+

[Zorro]

Bonsoir,

Moi je trouve une expression plus simple de l'équation de la tangente

y = (-ax + 1) / $$sqrt$(1-a^2$)

Le reste me semble aussi juste

[drecou]

ah oui effectivement.
Mais sinon, est-ce qu'il manque quelque chose dans ma démonstration?
Merci.
A+