Jeu de loto probabilité

Bonjour,
J'ai un exercice de probabilité à faire et j'aurais besoin de votre aide.

L'énoncé est le suivant :
"Dans le jeu de loto, chaque semaine sont tirés 5 nombres d'une urne contenant 90 boules numérotés de 1 à 90. Le tirage est sans remise. Fixons un nombre le 67. Appelons p la probabilité qu'il soit tiré lors d'un tirage hebdomadaire."

1) Quelle est la valeur de p ?
Omega= ensemble de 5 boules sans remise ={(b1,b2,b3,b4,b5) : b_i ≠ b_j, b_i ∈ {1,...,90}}
A="tirer le numéro 67"
Card(Omega)=(9089888786)/(5!)
Card(A)=(898887*86)/(4!)
p=Card(A)/Card(Omega)=5/90

2) Quelle est la probabilité qu'après 30 semaines le 67 n'ait pas été tiré ? Combien de semaines faut il en moyenne pour obtenir ce numéro ?

3) Supposons que dans les 100 premières semaines le 67 n'ait pas tiré. Quelle est la probabilité qu'il soit tiré la semaine suivante ? Quelle est la probabilité qu'il ne soit pas tiré avant la 130-eme semaine ?

Pouvez vous me dire si la première question est juste et me donner une piste pour les suivantes ?

Merci d'avance.

Bonjour mimo

Vérifie ta définition de l'ensemble oméga et de l'ensemble A.

Oups j'ai oublié les signes multipliés :
Card(Omega)=(9089888786)/(5!)
Card(A)=(898887*86)/(4!)
Est-ce mieux comme ça ?

mimo,

Il manque toujours le signe multiplier !
Tu peux simplifier 5/90 = ....

Question 2,
Quelle est la probabilité de l'évènement contraire ?

@noemi Bizarre, pourtant quand je tape mon message, ils y étaient.
Question 2 : Comme la probabilité d'obtenir le numéro 67 est 5/90 soit 1/18, alors la probabilité de ne pas obtenir le numéro 67 est 17/18. Par contre, je ne suis pas sûre pour la traduction de "après 30 semaines", est-ce qu'il faut multiplier cette probabilité par 30, où ce n'est pas la bonne méthode ?

Comment évolue la probabilité d'une semaine à l'autre ?
Le résultat du précédent tirage influe t-il le suivant ?

Pour moi, la probabilité reste la même d'une semaine sur l'autre. On aura autant de chance d'avoir le numéro 67.

Bonjour mimo,

C'est la réponse.

Pour la deuxième partie de la question 2, je pense qu'il faut calculer l'espérance afin de trouver la moyenne.

S=somme sur i de 1 à 90 (i différent de 67) = ((90*(90+1))/2)-67
E[X]=67*(1/18)+17/18*S=68543/18

Quand pensez-vous ?

La probabilité est de 1/18, donc en moyenne ...

Comme la probabilité est de 1/18, il faut donc 18jours en moyenne pour avoir le numéro ?

C'est correct.

Pour la troisième question il faut utiliser la probabilité conditionnelle.
Soit X_i = tirer le numéro 67 la semaine i
X_i appartient à {0,1} où 0 est l'échec et 1 le succès.
On cherche donc : P(X_101 = 1 | X_1 =0,..., X_100 = 0) = P(X_101 = 1,X_1 =0,..., X_100 = 0)/P(X_1 =0,...,X_100 = 0)

Quelle différence y a t-il entre les questions 2 et 3 ?

On parle de ne pas tirer le numéro au bout de 100 jours (au lieu de 30 dans la question précédente). Donc je sais calculer cette probabilité qui vaut 100*(17/18). Mais comment calculer celle du 101eme sachant cela..

Bonjour mimo,
1700/18 ? Une probabilité > 1 est-elle possible ?
La probabilité que le 67 ne soit pas tiré est 17/18.
La probabilité que le 67 soit tiré est 1/18.

@noemi Je n'ai pas bien lu ce que j'ai écris effectivement. La probabilité est comprise entre 0 et 1.
Les tirages sont indépendants d'une semaine sur l'autre. Donc la probabilité va rester la même d'une semaine sur l'autre.

Exact c'est la réponse.