Dm dérivées , signe et tableau de variation

[ludi123]

salut,voilà j'ai un dm a finir pour demain mais je n'arrive pas a faire la question b et c du 2
Une citerne métallique à ciel ouvert , destinée à recueillir de l'eau pluviale , a la forme d'un pavé rectangle à base carrée et un volume de 4m(au cube) (les dimensions sont en m)
f(x) =x²+16/x=(x(au cube)+16)/x
b) calculer la dérivée de f(x) , étudier son signe , et donner le tableau de variation de f sur ]0;5[
c) en déduire la valeur de x pour l'aquelle la surface à peindre est minimal.
voilà merci

[mtschoon]

Bonjour,

Tu n'a guère détaillé ton énoncé !
J'essaie de le comprendre.
x est le côté de la base carrée.
Soit h la hauteur du pavé et V le volume
$V=x^2\times h$ <=> $4=x^2\times h$<=> $h=\frac{4}{x^2}$

f(x) doit être la surface à peindre (le dessus carré et les 4 faces latérales)
C'est ainsi que tu as dû trouver
$\fbox{f(x)=x^2+4(x\times \frac{4}{x^2})=x^2+\frac{16}{x}=\frac{x^3+16}{x}}$

Tu dois étudier les variations de f sur ]0,5[

Je te commence le travail ( à toi de le poursuivre)

Pour calculer f'(x) tu as le choix en fonction des formules vues dans ton cours.
en utilisant $f(x)=x^2+\frac{16}{x}=\fbox{x^2+16(\frac{1}{x})}$
la dérivée de $x^2$ est 2x
la dérivée de $\frac{1}{x}$ est $-\frac{1}{x^2}$

donc f$'(x)=2x+16(-\frac{1}{x^2})=2x-\frac{16}{x^2}=\fbox{\frac{2x^3-16}{x^2}}$

Sur ]0,5[, $x^2>0$

le signe de la dérivée est donc le signe du numérateur $2x^3-16$

$2x^3-16=0$ <=> $2x^3=16$ <=> $x^3=8$ <=> x=.................

Je te laisse poursuivre en pensant que $8=2^3$

Reposte si besoin.