Déterminer si une application est linéaire

[NicoAdins]

Bonjour,
Je sollicite votre aide quant à la méthode pour déterminer si une application est linéaire. L'énoncé est le suivant :

"On considère l'application f définie par :
f : R^2 -> R
x -> f(x) = (x + y)^2

Déterminer si f est une application linéaire."

Je sais qu'il faut que je démontre que f(ax +y) = a.f(x) + f(y) mais je ne sais pas comment faire.

Merci de votre aide,

NicoAdins

[Noemi]

Bonjour Nicoadins,

Commence par écrire l'expression de f(ax+y)
f(ax+y) = .....

Tu peux aussi montrer que f(3x2) ≠ 3 f(2) puis conclure.

[NicoAdins]

Bonjour Noemi,

Soit f(x) = x^2 + 2xy + y^2

On veut f(a.x + y) = a.f(x) + f(y)
On a :
f(a.x + y) = (ax + y)^2
f(a.x + y) = a^2.x^2 + 2axy + y^2
f(a.x + y) = a(a.x^2 +2xy + y^2)

Donc f n'est pas une application linéaire.

Est-ce correct ?

[Noemi]

@nicoadins,

La dernière écriture de $f(ax+y)$ est fausse.
$f(ax+y)$ = $ax(ax+2y)$ + $y^2$

La conclusion est correcte.
Tu aurais pu utiliser le fait que f(3x2) ≠ 3f(2).

[NicoAdins]

@noemi

D'accord merci beaucoup Noemi !

Après pour l'application f suivante :

$f:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$
$\overrightarrow{x}\mapsto f(\overrightarrow{x})=$
($x+y$)
($y+z$)
($x+z$)

(C'est une matrice)

On écrit l'application f sous forme matricielle
$\forall x\in {\mathbb{R}}^3,$ on a :
$f(\overrightarrow{x})=$$\left(\begin{array}{c}110,011,101\end{array}\right)$ $(x,y,z)$
$⟺f(\overrightarrow{x})=A.\overrightarrow{x}$

Pour montrer que f est une AL, il faut vérifier que :
$f(\lambda \overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})=\lambda f(\overrightarrow{x})+f(\overrightarrow{y})$
$⟺f(\lambda \overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})=A(\lambda \overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})$
$⟺f(\lambda \overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})=A\lambda \overrightarrow{x}+A\overrightarrow{y}$
$⟺f(\lambda \overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})=\lambda f(\overrightarrow{x})+f(\overrightarrow{y})$

Ainsi on en déduit que f est une application linéaire de ${\mathbb{R}}^3$ dans ${\mathbb{R}}^3$

Correct ?

Merci beaucoup de votre temps et de votre réponse !

[Noemi]

@nicoadins,

C'est correct.

[NicoAdins]

@noemi

Mais en fait dès qu'on a une matrice avec des équations du premier degré c'est d'office une application linéaire ?

[Noemi]

@nicoadins ,

C'est le cas pour les applications de ${\mathbb{R}}^3$ dans ${\mathbb{R}}^3$ de la forme $f(\overrightarrow{x})$ = A$\overrightarrow{x}$.

[NicoAdins]

@noemi

Pourtant, dans l'application f suivante de ${\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2$, ca marche aussi non ?

$f:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2$
$\overrightarrow{x}\mapsto f(\overrightarrow{x})=$ ($x-y+z,x+z$)

On écrit l'application f sous forme matricielle
$\forall x\in {\mathbb{R}}^3,$ on a :
$f(\overrightarrow{x})=$$\left(\begin{array}{c}1-11,101\end{array}\right)$ $(x,y,z)$$⟺f(\overrightarrow{x})=A.\overrightarrow{x}$

Pour montrer que f est une AL, il faut vérifier que :
$f(\lambda \overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})=\lambda f(\overrightarrow{x})+f(\overrightarrow{y})$
$⟺f(\lambda \overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})=A(\lambda \overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})$
$⟺f(\lambda \overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})=A\lambda \overrightarrow{x}+A\overrightarrow{y}$
$⟺f(\lambda \overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})=\lambda f(\overrightarrow{x})+f(\overrightarrow{y})$

Ainsi on en déduit que f est une application linéaire de ${\mathbb{R}}^3$ dans ${\mathbb{R}}^2$

Est ce correct ?

Merci encore de votre temps et de votre réponse (après j'arrête de vous harceler !)

[Noemi]

@nicoadins ,
Exact, ça marche si tu peux écrire $f(\overrightarrow{x})$ = A. $\overrightarrow{x}$

[NicoAdins]

@noemi Bonjour noemi,

Je voulais vous remercier de votre aide si précieuse, grâce à vous j'ai obtenu 16,5 à mon partiel de maths ! Un grand merci et continuez votre travail remarquable sur le site !

[Noemi]

Bonsoir nicoadins,

C'est avec plaisir que j'apprends que tu as eu une bonne note à ton partiel. C'est ton travail et ton questionnement pour comprendre qui te permettent d'avoir de très bon résultat. Poursuis ainsi.