Etude de fonction, TVI, Algorithme pour dichotomie.

Soit g la fonction définie sur [1 ; 4] par g(x)=x^3 -1-1/x

Dresser le tableau de variations de g .
Étudier le nombre de solutions de l’équation g(x)=10 . Justifier.

Je ne suis pas sur de mes résultats g'(x)=3x^2+1/x^2 ?

Bonjour mathiques,

La dérivée est juste.
Etudie son signe pour dresser le tableau de variation.

voici le tableau de signe c'est chrosmique75 qui la envoyé car je n'y arrivait pas

@mathiques,

La résolution de g'(x) = 0 est fausse.
g'(x) est la somme de termes aux carrés donc g'(x) .....

Je ne comprend pas il ne faut pas faire Delta??

Delta s'applique avec une équation du second degré,
ici c'est $3x2+1x23x^2 + \dfrac{1}{x^2}$ ,
Pour $x>0x\gt0$ ; $3x^2$ > 0 et $1x2\dfrac{1}{x^2}$ > 0 donc
$3x2+1x23x^2 + \dfrac{1}{x^2}$ .......
La dérivée est donc ........
et la fonction ........

@noemi
3x^2+1/x^2 > 0 ?

Bonjour Noemi et matiques,

@mathiques ,
Si ça peut te faire gagner du temps (en attendant que Noemi te répondre), la réponse est OUI (pour x compris entre 1 et 4)

bonjour @mtschoon merci de ton aide je suis perdu je ne comprend plus grand chose..

Détaille ce que tu ne comprends pas, pour que l'on puisse t'aider plus.

Si c'est le signe de g'(x) qui te pose toujours problème, j'explicite un peu.

Pour $\in[1,4]$ , x est strictement positif
Lorsqu'on l'élève au carré, $x^2$ est strictement positif
Lorsqu'on multiplie par 3, $3x^2$ est strictement positif

De même, en prenant l'inverse de $x^2$ , $1x2\frac{1}{x^2}$ est strictement positif

La somme de deux nombres strictement positifs est strictement positive donc
la somme $3x2+1x23x^2+\frac{1}{x^2}$ est strictement positive

Conclusion :
Pour $\in[1,4]$ , la dérivée est strictement positive donc g strictement croissante.

Le tableau de variation que tu donnes est juste mais c'est l'explication relative à g'(x) qui est mauvaise.
Comme te l'a dit Noemi, g'(x) n'est pas un polynôme du second degré
Pour a différent de 0, un polynôme de second degré s'écrit $\fbox{ax^2+bx+c}$
Il n'y a pas de $x$ , ni de $x^2$ , au dénominateur, dans un polynôme du second degré.
Or ici, il y a $x^2$ au dénominateur. donc g'(x) n'est pas un polynôme du second degré donc les formules sur $Δ\Delta$ ne peuvent pas s'appliquer.

Il faut raisonner directement, comme indiqué .

Reposte si besoin.

@mtschoon Je pense avoir compris maintenant vu que ce n'est pas une fonction polynôme de second degré il ne faut pas que je calcul delta.
J'applique alors directement mon tableau avec g strictement croissante.
Mon tableau est-il bon?

Bonjour mathiques,

Le tableau de variations est juste.
Tu peux résoudre la question 2 en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires.

@noemi
Bonjour noemi,

g strictement croissante donc monotone sur intervalle (1;4)
J'applique le TVI , l'équation g(x)=10 admet 1 solution car f(1) <10< f(4) donc -1<10<62.75 .

C'est correct, mais attention à la rigueur mathématiques
Ecriture d'un n intervalle [1 ; 4]
f(1) < 10 < f(4) car -1 < 10 < 62,75

Tant qu'on est dans la rigueur, ce serait bien de préciser que f est continue et strictement monotone (cas de la bijection) , donc que l'équation g(x)=10 admet une solution unique

Un schéma pour éclairer

La solution unique de g(x)=10 est l'abscisse de A, intersection de la courbe représentative ( en rouge) et de la droite (en vert) d'équation y=10
Sur un schéma assez précis , on peut lire $xA≈2.3x_A \approx 2.3$

Daccord merci de l'aide je vous montre la suite de l'exercice c'est un algorithme.

L’algorithme ci-dessous permet d’obtenir un encadrement d’amplitude inférieure ou égale à
10^−1 de la solution α de l’équation g(x)=10 par la méthode de dichotomie.
Traitement : a prend la valeur 1
b prend la valeur 4
Tant que b−a>0,1 Faire
m prend la valeur a+b/2

y prend la valeur f(m)
Si y<10 Alors
a prend la valeur m
Sinon b prend la valeur m
Fin Si
Fin Tant que
Sortie : Afficher a et b
a) Recopier et compléter autant que nécessaire le tableau ci-dessous en exécutant
l’algorithme.
b) Donner un encadrement de α d’amplitude 0,1 .

ps: un tableau va etre envoyé apres il se situe entre la question a et b .

@mathiques 0_1540571054727_41702499_251663118838970_5353294795907268608_n.jpg

mathiques,

Indique tes calculs
2ème boucle m = (1+2,5)/2 = .....
y = f(m) = ....
Test y est-il < 10 ?
a = ....
b = ....
b - a = .....

et ainsi de suite
...

@mathiques

As-tu compris le principe ?
J'en doute un peu vu que tu ne donnes pas les résultats du second tour de la boucle "tant que"comme te le demande Noemi.

Si ça peut t'aider (?), je t'ai mis un lien pour une explication qui me semble claire.

Les notations a, b, m sont les mêmes que celles de ton énoncé.

La valeur appelée $λ\lambda$ dans le lien, vaut 10, donc dans ton exercice : $λ=10\lambda=10$
Pour la précision voulue, $p = 1$ vu qu'ici la précision est de $0.1=10^{-1}$ .

Faire le tableau de variation utile à chaque étape permet, peut-être, de mieux comprendre.

http://homeomath2.imingo.net/dichot1.htm

bonjour @Noemi @mtschoon

Je pense avoir comprit l'algorithme ce termine au bout de la troisième boucle. car b=1.75 et a=1.75 donc 1.75-1.75=0 donc fin du programme.

@mathiques,

Indique tes calculs,
as-tu tenu compte de l'indication si y <10 alors a = m ?

@noemi oui j'en ai tenu compte c'est meme pour cela que l'algorithme ce fini.

@mathiques,

Je n'ai pas dans mon tableau un a et un b égal à 1,75.

ah mince

@mathiques

Lors de la 3 boucle vu que y<10 alors a prend la valeur m qui était 1.75 , lors de la deuxième boucle b était égal a 1.75 donc 1.75-1.75=0

@mathiques,

C'est lors de la deuxième boucle que y est < 10 donc a = 1,75 et b ne varie pas donc reste à 2,5.
Propose les résultats pour les boucles que tu as trouvées
Boucle 2 : m = 1,75 ; y = 3,788 ; a = 1,75 ; b = 2,5 ; b-a = 0,75 ; Sortie : non
Boucle 3 : ....

@noemi Excuse moi je me suis trompé sur ma relecture...

@noemi

Boucle 3 : m= 2.125 y= 8.125 a=2.125 b=2.5 b-a=0.375 sortie: non

@mathiques

C'est correct.

@noemi Bonjour,

J'ai trouvé que cela ce fini a la 5 boucle avec m=2.21875 y=9.472 a=2.21875 b=2.3125 b-a=0.09375 sortie : oui .

Pour la question B je trouve l'encadrement comprit entre 2.2 et 2.3 .

@mathiques

C'est correct.

@noemi D'accord merci mais je n'arrive pas a faire le lien entre la réponse de l'algorithme et de la petite b ?

@mathiques,

Tu as répondu à la question b) vu que tu as donné l'encadrement
2,2 < $α\alpha$ < 2,3

@noemi mais normalement je devrait trouver le même résultat?

@mathiques,

Avec quel résultat fais tu la comparaison ?

Avec le résultat a et b obtenu dans la boucle 5 ?
a= 2.21875 b = 2.3125

( Je travaille sur cet exercice avec @mathiques )

@chrosmiq75,

Il est demandé un résultat d'amplitude 0,1
Tu peux écrire 2,21 < $α\alpha$ < 2,31

@noemi Dans notre algorithme a et b corresponde aux résultats trouvé pour l'encadrement de la question b?

Oui tous les intervalles [a ; b] contiennent la solution à l'équation $f (x) = 10$ ,
A chaque étape, l'amplitude de l'intervalle diminue.

ET comment formuler la reponse sur ma copie?

Un encadrement $α\alpha$ d'amplitude 0,1 est 2,2 < $α\alpha$ < 2,3.

Ahh d'accord, donc vu que dans la boucle 5 on a trouvé 2.21875 et 2.3125 $α\alpha$ est compris enctre 2.2 et 2.3?

@chrosmiq75 ,

$α\alpha$ est compris entre 2,21875 et 2,3125 car b - a < 0,1
si on arrondi au dixième cela donne entre 2,2 et 2,3.