polynôme du second degré (équations, inéquation)
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Eenzo dernière édition par mtschoon
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=4x²-12x+5.
- Montrer que, pour tout x, f(x)=(2x-5)(2x-1) et f(x)=4(x-1,5)²-4.
- En utilisant la forme la plus adaptée, résoudre :
a. l'équation f(x) = -4
b. l'inéquation f(x) ≥ -4
c. l'équation f(x) = 0
Bonjour,
J'ai cet exercice à faire pour la rentrer mais je ne sais pas du tout comment faire. Pourriez-vous m'aider s'il vous plait ?
Merci d'avance
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BBlack-Jack dernière édition par
Bonjour,
Pour la question 1, c'est facile.
Tu pars de f(x) = (2x-5).(2x-1)
Tu développes le 2ème membre et, sauf erreur, tu devrais retrouver l'expression f(x) = 4x²-12x+5Et ensuite, tu pars de f(x) = 4.(x-1,5)²-4
Tu développes le 2ème membre et, sauf erreur, tu devrais retrouver l'expression f(x) = 4x²-12x+5Il te reste à le faire ...
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Bonjour enzo,
Le scan de l'énoncé d'un exercice est interdit sur ce forum. Il va être supprimé.
Seuls les schémas et graphiques sont autorisés.
Recopie l'énoncé et indique tes éléments de réponse.
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Eenzo dernière édition par
@Noemi désolé je ne le savais pas. C'est ma première utilisation du site. Je vais supprimer le scan.
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Bonjour à tous,
Effectivement enzo, comme te l'a dit Noemi, les scans d'énoncés ne sont pas autorisés sur le forum et on ne doit donner de l'aide que lorsque l'énoncé est recopié.
Black-Jack ne devait pas le savoir lorsqu'il a répondu. Maintenant, il le sait.
enzo, tu n'as pas besoin de supprimer le scan car c'est déjà fait par la modération.
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Eenzo dernière édition par
Ah ok merci
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Eenzo dernière édition par mtschoon
@Black-Jack c'est bon je l'ai fait. J'ai bien trouvé le même résultat que la première expression. merci
il me reste à faire le 2 : je sais résoudre mais je ne sais pas comment choisir la forme la plus adaptée.
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Avec l'énoncé donné :
Piste pour la 2)
f(x)=4(x-1,5)²-4 est commode pour a) f(x)=−4f(x)=-4f(x)=−4 et b) f(x)≥−4f(x)\ge-4f(x)≥−4
f(x)=(2x-5)(2x-1) est commode pour la c) f(x)=0f(x)=0f(x)=0
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Pour choisir la forme adaptée, tu choisis celle qui te permet d'obtenir le résultat le plus rapidement.
Pour le a : C'est la forme qui contient déjà -4 qui est à utiliser.
Je rectifie pour le b car il me semble que sur le sujet de départ c'est l'inéquation f(x)≥5f(x) \geq5f(x)≥5 donc il faut utiliser la première écriture, celle avec le 5.
Pour le c : La forme factoriser car on utilise le fait qu'un produit de facteur est nul si et seulement si .....
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A toute fin utile, je t'indique des réponses pour que tu puisses comparer aux tiennes
Avec l'énoncé donné :
a) x=1.5 pour f(x)=−4f(x)=-4f(x)=−4
b) Tout x réel convient pour f(x)≥−4f(x)\ge -4f(x)≥−4
c) x=2.5 ; x=0.5 pour f(x)=0f(x)=0f(x)=0Reposte si besoin.
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Eenzo dernière édition par
j'était parti en vacance mais la je m'y remet. Je ne comprend pas comment faire : à un moment il faut isoler le x de 4x² mais je n'y arrive pas.
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Bonjour enzo,
Précise la question qui te pose problème. Indique tes calculs.
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Eenzo dernière édition par
@Noemi
pour le 1) , j'ai fait :
4(x-1,5)²-4 = -4
4(x-1,5)² = 0
4(x²-3x+2,25) = 0
4x²-12x+9 = 0
4x²-12x = -9
4x² = -9/12Et la je bloque.
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A partir de
4(x−1,5)2=04(x-1,5)^2 = 04(x−1,5)2=0
il te suffit d'écrire
(x−1,5)=0(x-1,5) = 0(x−1,5)=0
soit x=.....x = .....x=.....
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Tu as fait des erreurs en fin de calcul , mais de toute façon, ce n'est pas l'idée.
4(x−1,5)2=04(x-1,5)^2 = 04(x−1,5)2=0 <=> (x−1.5)2=0(x-1.5)^2=0(x−1.5)2=0 (vu que 4 est non nul)
(x−1.5)2(x-1.5)^2(x−1.5)2 est nul si et seulement si(x−1.5)(x-1.5)(x−1.5) est nul, donc....
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Eenzo dernière édition par enzo
donc si je comprend bien :
4(x-1,5)²-4 = -4
4(x-1,5)² = 0
4(x-1,5)=0
4x-6=0
4x=6
x=6/4
x=1,5
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Oui
Remarque :
4(x−1,5)2=4(x−1,5)(x−1,5)4(x-1,5)^2 = 4(x-1,5)(x-1,5)4(x−1,5)2=4(x−1,5)(x−1,5)
et un produit de facteur est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul
comme 4 différent de 0, il reste (x−1,5)=0(x-1,5) = 0(x−1,5)=0 soit x=1,5x = 1,5x=1,5.
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Eenzo dernière édition par
ok . merci . J'ai juste une dernière question : si je met le dernier raisonnement sur ma copie, est-ce que j'ai besoin de préciser que (x−1.5)² est nul si et seulement si (x-1.5)(x−1.5) est nul ?
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Non, juste (x−1,5)=0(x-1,5) = 0(x−1,5)=0
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Eenzo dernière édition par
ok . merci beaucoup .
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Eenzo dernière édition par enzo
Est-ce que c'est le même raisonnement pour le 2) ?
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Non puisque tu résous une inéquation.
Pars de l'écriture de f(x)f(x)f(x) avec -4.
....
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Eenzo dernière édition par
tu a pourtant dis plus haut dans la conversation qu'il fallait utiliser l'ecriture de f(x) avec 5.
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Cela dépend de l'énoncé : Est-ce f(x)≥−4f(x) \geq -4f(x)≥−4 ? ou f(x)≥5f(x)\geq 5 f(x)≥5 ?
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Eenzo dernière édition par
pour le b, c'est f(x)≥5
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Donc tu pars de l'écriture de la fonction qui contient 5.
Tu écris sous la forme A(x)≥0A(x) \geq 0A(x)≥0
Tu factorises l'expression A(x)A(x)A(x)
puis tu fais un tableau de signes.
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Eenzo dernière édition par
4x²-12x+5≥5
4x²-12x≥0Et la je ne comprend pas comment on peut factoriser.
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Mets 4x4x4x en facteur
4x2−12x=4x(....−....)4x^2 - 12x = 4x ( ....- .... )4x2−12x=4x(....−....)
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Eenzo dernière édition par
4x ² −12x=4x(4x−12x)
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Non,
4x2−12x=4x×x−4x×3=4x(.....−.....)4x^2 - 12x = 4x \times x - 4x \times 3 = 4x( ..... - .....)4x2−12x=4x×x−4x×3=4x(.....−.....)
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Eenzo dernière édition par enzo
4x² −12x=4x(3x−3)
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Non,
4x2−12x=4x×x−4x×3=4x(x−3)4x^2 - 12x = 4x \times x - 4x \times 3 = 4x( x - 3)4x2−12x=4x×x−4x×3=4x(x−3)
Il te reste à résoudre 4x(x−3)≥04x(x - 3) \geq 04x(x−3)≥0
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Eenzo dernière édition par
sa revient a faire 4x²-12x puisqu'il faut développer pour résoudre.
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Non, tu fais un tableau de signes :
xxx −∞-\infty−∞ 0 3 ∞\infty∞
4x4x4x
x−3x-3x−3
4x(x−3)4x(x-3)4x(x−3)
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Eenzo dernière édition par
J'ai pas compris le truc du tableau de signe.
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Eenzo dernière édition par
C'est comme ça ?
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Non,
ça c'est un tableau de variations. Mais tu peux voir avec ces variations que 4x4x4x est négatif si x < 0 et 4x est positif si x > 0.
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Eenzo dernière édition par
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Oui
rajoute les lignes
(x−3)(x-3)(x−3)
et le bilan
4x(x−3)4x(x-3)4x(x−3)
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Eenzo dernière édition par
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enzo , bonjour,
Ton dernier tableau de signes est bon.
Tu en déduis l'ensemble des solutions de l'inéquation 4x²-12x≥0
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Eenzo dernière édition par
@mtschoon
ben du coup, c'est ]−∞;+∞[
non ?
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Supérieur ou égal à 0 correspond aux intervalles ou tu as obtenu le signe + .
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Eenzo dernière édition par enzo
@Noemi
Alors c'est ]-∞;0[U]0;+∞[ ou ]-∞;0[U]3;+∞[ ?
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Regarde bien le tableau
"+" correspond à la première colonne et à la 3ème colonne
Regarde le haut de ces deux colonnes
Pour la première colonne, x est entre −∞-\infty−∞ et 0
Pour la troisième colonne, x est entre 3 est +∞+\infty+∞Donc les solutions de l'inéquation sont les réels de
]−∞]-\infty]−∞,.....]U[......,,+∞+\infty+∞[Tu complètes.
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Eenzo dernière édition par
@Noemi Alors ]-∞;0[U]3;+∞[ ?
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@enzo
C'est : ]-∞;0]U[3;+∞[
L'inégalité n'est pas stricte, tu prends aussi les cas ou c'est égal à 0, donc pour x=0x=0x=0 et pour x=3x= 3x=3.