Calcul de Limites (fonction rationnelle avec paramètre)


  • H

    Soit la fonction f(x)=(x3+mx+1)/(x2+x)(x^3+mx+1)/(x^2+x)(x3+mx+1)/(x2+x)

    1. déterminer Df
    2. calculer lim f(x) en +∞ et -∞
      3)discituer en fonction du paramètre m la limite lim f(m) en -1

  • mtschoon

    hafud, bonjour,

    Ici , un minimum de politesse et de convivialité s'impose !
    Un petit "bonjour","bonsoir", "merci" fait plaisir à ceux qui viennent t'apporter de l'aide.
    Pense-y une autre fois.

    Il faut préciser ton énoncé.

    Tu as écrit f(x)=(x^3+mx+1)/x^2+x

    S'agit-il de f(x)=x3+mx+1x2+xf(x)=\dfrac{x^3+mx+1}{x^2}+xf(x)=x2x3+mx+1+x ou bien
    f(x)=x3+mx+1x2+xf(x)=\dfrac{x^3+mx+1}{x^2+x}f(x)=x2+xx3+mx+1

    Si tu ne connais pas le Latex, mets suffisamment de parenthèses.


  • mtschoon

    @hafud

    Je te démarre ton exercice pour le cas où il s'agirait de
    f(x)=x3+mx+1x2+xf(x)=\dfrac{x^3+mx+1}{x^2+x}f(x)=x2+xx3+mx+1

    condition d'existence : dénominateur non nul
    x2+x=0x^2+x=0x2+x=0 <=> x(x+1)=0x(x+1)=0x(x+1)=0<=> x=0 ou x=-1

    Donc Df=R / {-1,0}

    Pour trouver la limite en +∞+\infty+ ou −∞-\infty , tu peux prendre la limite des termes de plus fort degré du numérateur et du dénominateur, seulement si c'est vu dans ton cours, ce qui n'est pas sûr.

    Sinon, tu mets x² en facteur au numérateur et au dénominateur puis tu simplifies par x²
    Tu prends la limite de la fonction ainsi transformée.
    Tu dois trouver
    lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\inftyx+limf(x)=+
    lim⁡x→−∞f(x)=−∞\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\inftyxlimf(x)=

    Indique si il s'agit bien de la "bonne" fonction et tiens nous au courant de l'avancée de ton exercice.


  • H

    @mtschoon oui c'est la bonne fonction et pour la troisième question svp


  • mtschoon

    Piste pour la 3ème question,

    Tu peut éventuellement, pour y voir plus clair, mettre x en facteur et simplifier par x
    Pour x ≠0\ne 0=0 f(x)=x2+m+1/xx+1f(x)=\dfrac{x^2+m+1/x}{x+1}f(x)=x+1x2+m+1/x

    Lorsque x tend vers -1, le numérateur tend vers m et le dénominateur tend vers 0

    Tu as donc deux cas à étudier : m=0m=0m=0 et m≠0m\ne 0m=0

    1er cas m=0
    Il y a une indétermination de la forme "0/0"

    f(x)=x3+1x2+xf(x)=\dfrac{x^3+1}{x^2+x}f(x)=x2+xx3+1

    Mets (x-1) en facteur au numérateur et au dénominateur, simplifie par (x-1) et cherche la limite de l'expression ainsi simplifiée.
    f(x)=(x+1)(x2−x+1)(x+1)xf(x)=\dfrac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)x}f(x)=(x+1)x(x+1)(x2x+1)

    Sauf erreur, tu dois trouver -3 comme limite

    2ème cas : m≠0m\ne 0m=0

    Pour x ≠0\ne 0=0 f(x)=x2+m+1/xx+1f(x)=\dfrac{x^2+m+1/x}{x+1}f(x)=x+1x2+m+1/x

    Vu que le numérateur tend vers m non nul et le dénominateur tend vers 0, tu obtiendras +∞+\infty+ ou −∞-\infty suivant les signes de m et de x+1
    Vois les deux possibilités : m > 0 et m < 0


  • H

    @mtschoon merci pour votre aide


  • H

    @mtschoon pour la dernière étape j'ai pas bien compris


  • mtschoon

    Je te détaille le cas m > 0
    Lorsque x tend vers -1 :
    x2+m+1xx^2+m+\dfrac{1}{x}x2+m+x1 tend vers m qui est strictement positif
    x+1x+1x+1 tend vers 0

    Il faut encore détailler :

    Si x+1 >0, x+1 tend vers 0+0^+0+
    donc f(x) tend vers +∞+\infty+
    lim⁡x→1+f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to 1^+}f(x)=+\inftyx1+limf(x)=+ (limite à droite)

    Si x+1 <0, x+1 tend vers 0−0^-0
    donc f(x) tend vers −∞-\infty
    lim⁡x→1−f(x)=−∞\displaystyle \lim_{x\to 1^-}f(x)=-\inftyx1limf(x)= (limite à gauche)

    Lorsque tu as compris cela, tu étudies le cas m < 0

    Bon travail.


  • H

    @mtschoon je sais pas comment faire pour m
    m<0


  • mtschoon

    Tu raisonnes de la même façon.
    Il s'agit, dans chaque cas, de la règle des signes d'un quotient.

    Pour m < 0
    Lorsque x tend vers -1 :
    le numérateur tend vers m qui est strictement négatif
    le dénominateur tend vers 0

    Il faut encore détailler :

    Si x+1 > 0, x+1 tend vers 0+0^+0+, donc x tend vers −1+-1^+1+
    donc f(x) tend vers −∞-\infty c'est la limite à droite

    Si x+1 < 0, x+1 tend vers 0−0^-0, donc x tend vers −1−-1^-1
    donc f(x) tend vers +∞+\infty+ c'est la limite à gauche.


  • H

    @mtschoon merci


  • mtschoon

    De rien hafud !

    Pour être sûr que tu maîtrises bien, je te conseille de refaire l'exercice seul.
    Bon travail !


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