Exercice Étude de fonction

Soit f la fonction défini par $f(x)=x+(1/2)+(1/(x^2+1))$

calculer limite en +∞ et -∞
2)a) déterminer l'équation de (∆) l'asymptote oblique à $C$
b) étudier la position de $C$ par rapport à (∆)
3)a-calculer $f^{'} (x)$ et dresser tableau de variations de $f$
b- déterminer l'intersection de $C$ et l'axe des abscisses
a-calculer $f^{''} (x)$ puis déterminer les points d'inflexions
b-tracer la courbe $C$
5)a-résoudre graphiquement l'équation f(x)≥0
b- montrer que quelque soit $x$ de $R^+$ $x+1+(1/(x+2))\sqrt{x+1}+(1/(x+2))$ ≥3/2}

Bonjour hafud, (Marque de politesse à ne pas oublier !!!)

Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.
Quelle est la limite en, $+∞+\infty$ de :
$x$ ?
$1x2+1\dfrac{1}{x^2+1}$ ?
Comment détermine t-on l'équation d'une asymptote oblique ?

@Noemi 0^+

@hafud

C'est la réponse à quelle question ?

@Noemi la 1er

@hafud
la limite de $x$ ?

Limite en +∞ et -∞ est égal à 0
@Noemi

@hafud

Si $x$ tend vers $+∞+\infty$ ,
la limite de $\dfrac{1}{2}$ est $+∞+\infty$

et la limite de $1x2+1\dfrac{1}{x^2+1}$ est 0.

donc la limite de $f (x)$ est : .....

@hafud donc C admet une asymptote horizontal d'équation y=0 au voisinage de+∞ même chose au voisinage de-∞

@hafud

Non,

Tu n'as pas répondu au calcul de la limite.

@Noemi +∞

@hafud

Et si $x$ tend vers $−∞-\infty$ ?

@Noemi -∞

@hafud

Calcule maintenant la limite quand $x$ tend vers $∞\infty$ de
$f(x)−(x+12)f(x)-(x+\dfrac{1}{2})$

@Noemi c'est 0

@hafud doncC admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses au voisinage de∞

@hafud

Non, c'est la question 2 a) la fonction admet une asymptote oblique d'équation
$y = . . . . . . . . . .$

@Noemi y=ax+b

@hafud C.a.d $y = x + (1 / 2)$

@hafud

Oui,

Pour l'étude de la position de la courbe par rapport à l'asymptote, étudie le signe de
$f (x) - y$ .

@Noemi c'est $1/x^2+1$ et qui est négatif

@hafud

Pourquoi négatif ??

@Noemi pardon c'est positif donc C se trouve au dessus de ∆

@hafud

Oui.

3 a) Calcule la dérivée et étudie son signe.

@Noemi $1-(2x)/(x^2+1)^2$

@hafud

Oui,

Etudie le signe.

@Noemi îl est positif

@hafud

Ou, tu l'as démontré ?

@Noemi j'avais fait $x^2+1)^2-2x/((x^2+1)^2)$

@hafud

Oui, puis tu étudies le signe du numérateur.

@Noemi comment

@hafud

Tu cherches le tableau de variation de la fonction correspondant au numérateur.
soit $g(x) = (x^2+1)^2 - 2x$
calcul de $g^{'} (x)$ puis résolution de $g^{'} (x) = 0$ puis tableau de variation.

@Noemi $g'(x)=4x(x^2+1)-2$

@hafud

Oui, résous $g^{'} (x)$ = 0 puis dresse le tableau de variation.

@hafud pour résoudre l'équation j'avais pas trouvé la réponse

@hafud

La fonction g' est une fonction strictement croissante qui s'annule pour $x$ voisin de alpha = 0,424.
Si tu étudies la fonction g pour $x$ > 0, tu déduis que la fonction est décroissante puis croissante. Puis que la fonction $f$ est positive.

@Noemi et pour l'autre question

@hafud

Pour la question 3 b. j'ai indiqué la valeur approchée 0,424. Tu peux utiliser la calculatrice pour vérifier.

@Noemi 4a) $f''(x)=(-2(x^2+1)^2-8x^2(x^2+1))/(x^2+2)^4)$ on étudie le signe de $f^{''} (x)$ et on voit où il s'annule avec changement de signe et se ses pointsd'inflexion