Questions d'arithmétique de spécialité maths
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IIris29 dernière édition par mtschoon
Bonjour, j'ai un dm de maths à rendre et j'ai deux questions auxquelles j'ai un souci, pourriez vos m'aider svp?
1)-L'équation x² - 4y² = 3 avec x et y entiers , admet combien de solutions?
2)-L'équation d'inconnue (x;y) 5x - 4y = 1 dans Z x Z :
A: a pour solution (1;1)
B: n'a pas de solution
C : a pour solutions les couples (4k+1 ; 5k+1), avec k appartenant à Z
D : a les mêmes solutions que le système :
{x≡1[mod4]y≡1[mod5]\begin{cases}x \equiv 1 [mod4]\cr y\equiv 1 [mod5]\end{cases}{x≡1[mod4]y≡1[mod5]
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Bonjour Iris29,
Indique tes éléments de réponse.
Pour l'équation x2=4y2+3x^2 = 4y^2 + 3x2=4y2+3 fais une étude selon la parité des inconnues.
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IIris29 dernière édition par
Bonjour merci d'avoir répondu mais vous entendez quoi par donne des éléments de réponse?
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IIris29 dernière édition par
Re: A partir de ce que vous avez dit, j'ai fais:
x²=4y²+3
x=2y+racine de3
x-2y est du signe racine de 3 et moins racine de 3 est ce celà?
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Donner des éléments de réponse, c'est indiqué tes pistes de recherche.
Attention :
x2=4y2+3x^2=4y^2+3x2=4y2+3 a pour solutions :
x=±4y2+3x=\pm\sqrt{4y^2+3}x=±4y2+3je ne fournis pas une réponse mais juste des indications pour permettre de résoudre l'exercice.
Une autre piste : démontrer que si un couple (x;y)(x;y)(x;y) est solution alors x2≡3(4)x^2\equiv 3 (4)x2≡3(4).
Chercher les restes possibles de la division de x2x^2x2 par 4.
Puis conclure que l'équation n' a pas de solution.
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Bonjour,
Isis29 n'a pas donné suite pour ses questions.
Il(elle) a dû terminer seul(e) son exercice.Quelques indications, pour consultation éventuelle.
Pour la 1), en suivant les conseils de Noemi :
Recherche des restes possibles de la division de x² par 4.
Deux cas :
x est pair, c'est à dire x=2p, avec p entier
x2=4p2=4(p2)+0x^2=4p^2=4(p^2)+0x2=4p2=4(p2)+0 le reste est nul
x2≡0 [mod4]x^2\equiv 0\ [mod4]x2≡0 [mod4]x est impair, c'est à dire x=2p+1, avec p entier
x2=(2p+1)2=4p2+4p+1=4(p2+1)+1x^2=(2p+1)^2=4p^2+4p+1=4(p^2+1)+1x2=(2p+1)2=4p2+4p+1=4(p2+1)+1
Le reste est 1
x2≡1 [mod4]x^2\equiv 1\ [mod4]x2≡1 [mod4]Conclusion : x2≡3 [mod4]x^2\equiv 3\ [mod4]x2≡3 [mod4] est impossible, d'où la réponse à la question 1).
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La question 2) est liée à la résolution de l'équation diophantienne 5x-4y=1
Pistes,
Le couple (1,1) est solution évidente vu que 5−4=15-4=15−4=1
Soit :
{5x−4y=15−4=1\begin{cases}5x-4y=1\cr 5-4=1\end{cases}{5x−4y=15−4=1
En retranchant membre à membre
5(x−1)−4(y−1)=05(x-1)-4(y-1)=05(x−1)−4(y−1)=0 <=> 5(x-1)=4(y-1)\fbox{5(x-1)=4(y-1)}5(x-1)=4(y-1)
5∣(4(y−1)5|(4(y-1)5∣(4(y−1) donc 5∣(y−1)5|(y-1)5∣(y−1) vu que 5 et premier avec 4 (Gauss)
Donc il existe k entier tel que y−1=5ky-1=5ky−1=5k, c'est à dire y=5k+1y=5k+1y=5k+1 donc y≡1 [mod5]y\equiv 1\ [mod5]y≡1 [mod5]On remplace y par son expression dans l'équation 5(x−1)=4(y−1)5(x-1)=4(y-1)5(x−1)=4(y−1) et l'on obtient :
x=4k+1x=4k+1x=4k+1 donc x≡1 [mod4]x\equiv 1\ [mod4]x≡1 [mod4]Ensuite, on vérifie les couples ainsi trouvés sont solutions de 5x−4y=15x-4y=15x−4y=1
On déduit les réponses pour A,B,C,D de la question 2)
Bonne lecture.