Factoriser pour démontrer qu'une expression est divisible par un terme


  • C

    voici l'enoncé.
    soit p(x) = x4x^4x4 + 7x37x^37x3 + 8x² - 28x - 48
    démontrer que p(x) est divisible par (x²+2x-8)

    j'ai essaye de factoriser avec les racines evidentes mais ça donne rien.

    pouvez vous me tuyauter?
    en attendant je vais essayer d'autres trucs.
    merci

    Zorro : j'ai mis les fins d'exposants qui manquaient


  • P

    Bonsoir,
    ça devrait pouvoir t'aider:
    x4x^4x4 + 8 x^2 - 48 = -7x (x^2 - 4) ¦désolé, signe corr.
    x4x^4x4 + 8 x^2 + 16 - 64 = -7x (x^2 - 4)
    Bonne chance.


  • Zorro

    bonsoir

    il faut trouver les coefficients de Q(x) polynome du 2ème degré tel que

    P(x) = (x² + 2x - 😎 Q(x)

    P(x) du 4ème degré
    (x²+2x-8) du 2ème degré
    donc Q(x) du second degré

    Autre solution faire la division euclidiènne de P(x) par (x²+2x-8)

    philpiot, pour moi -7x (x^2 - 4) = -7x^3 + 28x et non x^4 + 8x^2 - 48 !?!?


  • P

    [quote=Zorro]bonsoir

    philpiot, pour moi -7x (x^2 - 4) = -7x^3 + 28x et non x^4 + 8x^2 - 48 !?!?

    Bonjour Zorro,

    On cherche d'abord les racines de P(x); pour ce faire, on écrit P(x) = 0 et l'on résout l'équation. Pour se faciliter la tâche, on passe les termes de degré impair d'un côté et l'on garde les termes de degré pair de l'autre. On obtient effectivement:
    x4x^4x4+ 8x^2 - 48 = - 7x^3 + 28 x ¦ (-7x) en évidence à droite
    et l'on note que (on se fait un petit carré parfait, comme un caprice...)
    x4x^4x4+ 8x^2 - 48 = x4x^4x4 + 8x^2 + 16 - 64
    on note aussi que
    x 4^44 + 8x^2 + 16 = (x^2 + 4)^2 et que - 64 = - 8^2
    On obtient la différence de 2 carrés qu'on peut développer:
    x 4^44 + 8x^2 + 16 - 64 = (x^2 + 4 - 8)(x^2 + 4 + 😎 = (x^2 - 4)(x^2 + 12) ¦ (x^2 - 4) nous intéresse car on a ainsi:
    (x^2 - 4)(x^2 + 12) = - 7x (x^2 - 4) ¦ en repassant l'expression de droite à gauche
    (x^2 - 4)(x^2 + 7x +12) = 0
    on vérifie que (x^2 + 7x +12) = (x + 3)(x + 4)
    et l'on note
    P(x)= (x - 2)(x + 2)(x + 3)(x + 4) ou, en groupant différemment:
    P(x) = (x - 2)(x + 4)(x + 2)(x + 3)
    P(x) = (x^2 + 2x - 8)(x^2 + 5x + 6)
    Q(x) = (x^2 + 5x + 6)
    Les racines de P(x) sont:
    x'= -4; x''= -3; x'''= -2; x''''= +2

    C'était là, je crois, tout ce que vous aviez à démontrer.
    Bonne journée.


  • Zorro

    Oui mais cette méthode n'est pas au programme de ter S

    Il est préférable de passer par

    P(x) = (x^2 + 2x - 😎 (ax^2 + bx + c)

    développer et identifier les coefficients de x4x^4x4 puis de x3x^3x3 puis de x2x^2x2 puis de x puis la constante à ceux de f(x) et on trouve ce qu'on cherche.

    Donc on peut déduire les racines de (ax^2 + bx + c) et de (x^2 + 2x - 😎 donc de P(x)


  • P

    Bonjour Zorro,

    Je suis désolé d'avoir présenté une méthode non agréée: je répondais à ton "!?!?"
    -7x (x - 4) égale x^4 + 8x - 48 pour quatre points seulement dont les abcisses sont les solutions de P(x)
    Il est clair que la division euclidienne est bien la méthode la plus rapide.
    Bonne soirée.


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