nombre rationnel



  • Rebonjour, je fais à nouveau appel à vos services car je bloque sur un autre exercice :frowning2: :

    a1= 0.57
    a2=0.5757
    a3=0.575757
    a4=0.57575757

    si n entier naturel
    an=0.57....57 où l'on juxtapose n fois le nombre 57 après la virgule.

    1.Vérifier que
    a1=57×10210^{-2}
    =0.57

    a2=57×10-² + 57×10410^{-4}
    =0.57 + 0.0057
    =0.5757

    a2=57×10210^{-2}(1+ 10210^{-2})
    =0.57×1+0.57×10210^{-2}
    =0.57 + 0.0057
    =0.5757

    a3= (57÷100)×[1 + (1÷100) + (1÷100)²]
    =(57÷100)×1 + [(57÷100)×(1÷100)] + [(57÷100)×(1÷10000)
    =0.57 + (57÷10000) + (57÷1000000)
    =0.57 + 0.0057 + 0.000057
    =0.575757

    2.Démontrer que, pour tout n de mathbbNmathbb{N}
    ana_n= (57÷99)[1-(1÷100)n100)^n]
    ? Je ne sais pas du tout comment faire 😕

    3.Vérifier que |ana_n - (57÷99)|≤102n10^{-2n}
    Je pense avoir besoin de la réponse à la question 2 pour pouvoir répondre à celle-ci non? Sinon là aussi je bloque...

    4.Pour quelles valeurs de n a-t-on
    |ana_n-(57÷99)|≤10610^{-6} ?
    |ana_n-(57÷99)|≤10910^{-9} ?
    Je n'ai pas trop étudié les nombres rationnels en 2nde et je ne connaissait pas la signification des "|" autour de a dans |a| avant hier... :frowning2:

    5.Conjecturer sur la limite du nombre ana_n lorsque n tend vers l'infini.
    Je n'ai pas appris à faire de conjecture donc si vous pouviez m'expliquer "comment ça marche" cela me serait d'une grande aide je crois

    Je remercie d'avance les personnes qui voudront bien me donner un peu d'aide car j'ai beau chercher dans mon livre de cette année ou dans des autres livres que j'ai acheté, je suis censée me servir de ce que j'ai vu les autres années...



  • Pour 2 : regarde peut-être 100an100a_n - ana_n.



  • Si je fais 100a100a_nan-a_n j'obtient

    100a100a_nan-a_n = 100×[(57÷99)(1-(1÷100)n100)^n] - [(57÷99)(1-(1÷100)n100)^n]
    =100×[(57÷99)(1n99)(1^n-0.02+(1÷100)n100)^n)]-[(57÷99)(1n99)(1^n-0.02+(1÷100)n100)^n)]
    par hasard peut on supprimer les deux expressions entre crochets? 😕 je ne pense pas mais ce serait plus simple au moins... 😆
    parce que la dans les deux expressions entre crochets je dois mulptiplier (57÷99) par 1n1^n, (-0.02) et par (1÷100)n100)^n ? car (57÷99)×(-0.02)=0.01151515152 donc ça ne me paraît pas bon


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