Polynômes



  • Salut! J'ai un dm sur les polynomes, et jsuis un peu bloquée dès le premier exercice... Ca démarre bien la 1ere S ^^
    Voila lexo:

    Démontrer que le polynôme défini par f(x)= x^4 - 6x³ + 11x² - 6x + 1 est le carré d'un polynôme g a déterminer...

    Je crois qu'on doit dabord mettre la fonction polynôme ax²+bx+c au carré mais après... Jsuis un peu perdue :frowning2:

    Est ce que vous pourriez m'aider svp?? Merci davance... 😉



  • Bonjour,

    Calculer (ax^2+bx+c)^2 c'est une bonne idée. Que trouves tu ?

    Quelle condition doivent vérifier les coefficients de 2 polynômes égaux ?



  • Je trouve ax^4 + 2abx³ + 2acx² + bx² + 2bcx + c² ... Les coefficients doivent etre égaux aussi...non?



  • moi je trouve b²x² et non bx²

    Maintenant appelons P(x) ce plynôme

    quels sont les coefficients de P(x) pour x^4 pour x^3 pour x^2 et x et x^0 ?

    ces coefficients doivent égaux à ceux de f(x). Il faut donc trouver 4 équations à 3 inconnues pour trouver a , b , c,

    Bon calcul



  • Ben je pense que pour x^4 le coefficient est a, pr x³ c'est 2ab, pr x² c'est b², pour x c'est 2bc et pour x^0 c'est c²... C'est ca pour linstant?



  • attention

    P(x) = ax^4 + 2abx³ + 2acx² + b²x² + 2bcx + c²
    donc
    P(x) = ax^4 + 2abx³ + (2ac + b²)x² + 2bcx + c²
    or
    f(x)= x^4 - 6x³ + 11x² - 6x + 1

    donc quelles équations peux tu écrire afin que P(x) = f(x) pour tout réel x



  • Ah oui j'avais oublié de factoriser 😁 Pour les equations j'ai trouvé
    a=1
    2ab=-6
    2ac+b²=11
    2bc=-6
    c²=1



  • Et que trouves tu comme solution ?



  • j'ai a=1, b=-3 et c=1.



  • maintenant... je remplace dans ax²+bx+c



  • Oui, en effet, pour les 2 questions.
    Et tu as bien vérifié que ces 3 valeurs vérifient les 5 équations. Parce que dans une telle situation tu pourrais trouver 3 valeur qui vérifient 3 équations mais pas les 2 dernières . Or pour prouver l'existence de g, il faut bien que les 5 équations soient vérifiées.



  • La fonction g serait donc x²-3x+1? Mais c'est bizarre je trouve pas la solution qu'il faut si je fait (x²-3x+1)²...



  • Relis la question

    ""Démontrer que le polynôme défini par f(x)= x^4 - 6x³ + 11x² - 6x + 1 est le carré d'un polynôme g à déterminer...""

    donc tu as montré que f(x) = (ax²+bx+c)² avec a=1 b=-3 et c=1

    et tu veux que le polynôme défini par f(x) soit le carré d'un polynôme g

    donc g(x) = ????



  • Alors mon polynôme g est bien égal a x²-3x+1?



  • Oui, en effet, g(x) = x² - 3x + 1



  • D'accord! Merci beaucoup! 😄



  • Bonjour Ariana29,

    pour poser un nouveau sujet il faut cliquer sur ""Nouvelle discussion"" et non mettre sa question dans le sujet de quelqu'un d'autre !

    Tu devrais aller lire les consignes à respecter ici en cliquant http://www.math...et-3389.html

    J'ai déplacé ta question en créant une nouvelle discussion Fonctions polynôme


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