Etudier les variation d'une fonction polynôme de degré 3

bonjour a ts!j'ai un exercice et je voudrais deja savoir si ma 1ere reponse est juste car mon exercice depend de la 1ere question.
je dois etudiez les variation de g(x)=x³-3x²-1 donc pour repondre a cette question j'ai d'abord calculer la dérivée et je trouve que c'est 3x²-6x est -ce que c'est juste?

bonjour,

oui c'est juste

ok donc après j'ai calculé le discriminant j'ai trouvé le signe et les variations de la focntions mais mainetnant je dois trouver l'extremum et le minimum.Donc pr cela je dois calculer f(0) et f(-2) (0 et -2 étant les solutions) mais je trouve des resulats bizar comme f(0)=0 et f(-2)=0 est ce normal?

pas besoin de calculer le discriminant de 3x²-6x en effet 3x²-6x = 3x(x-2) donc les solutions de

3x²-6x = 0
sont les mêmes que
3x(x-2) = 0

donc il semble qu'il y ait une erreur de calcul parce que 3x(x-2) = 0 est équivalent à

x = 0 (certes) ou (x-2) = 0 donc ?????

Il na faut jamais prendre la solution compliquée .... il faut toujours utiliser la solution la plus simple (elle génère moins de fautes de calcul, en principe)

ce qui veut dire que les solutions sont 0 et 2?

bin oui ... tu peux vérifier en remplaçant x par 0 et 2 (et au passage -2) et regarde ce que tu trouves !!!

oui j'ai vu merci mais o final ça change pas f(0)=0 et f(2) =0 aussi c'est pas bizar comme resultat?

si g(x)=x³-3x²-1 je ne vois pas comment tu trouves g(0) = 0 et g(2) = 0 ????

g(0) = 0³-3*0²-1

et g(2) = 2³-2*2²-1

non ?

ah oui pardon moi je calculais les images avec la dérivée merci.mais après il me demande de démontrer que l'équation g(x)=0 a une solution unique mais je ne trouve pas qu'elle a qu'une solution comment dois je faire?

Tu dois le faire en utilisant la repésentation grahique de g ; tu regardes si la courbe représentant g coupe l'axe des x.

Sur ta calculatrice en utilisant la fonction TRACE tu dois aussi trouver une valeur approchée de cette racine (mais ce n'est peut-être pas demandé !)

Dis nous ce que tu trouves !

oui avec la calculatrice je vois que la courbe coupe l'axe des abscisses mais par calcul comment je dois faire?

Par le calcul ce n'est pas faisable car tu ne sais pas résoudre ce genre d'équation !

(On doit trouver quelque chose qui a pour valeur approchée 3,103803)

oui je trouve ça mais comment marquer sur ma feuille que g(x)=0 a une solution unique si je me suis servie de ma calculatrice?

Avez vous vu en classe le théorème des valeurs intermédiaires ? appelé aussi le thérorème de la bijection ?

oui on a vu le théromère des valeurs intéermédiaires

Eh bien il faut l'appliquer à partir du tableau de variation

ok merci

Puisque sur le tableau de variation est :

$\begin{tabular}{|c|ccccccc|}x&-\infty&&0&&2&&+\infty \ \hline {f'(x)}& &+&0&-&0&+& \ \hline \ &&& -1&&&&+\infty \ {f}&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&&\ &-\infty &&&&-5&\end{tabular}$

Il y a bien une seule valeur a > 2 telle que g(a) = 0

oui mais je ne comprends pas on me dit que l'unique valeur est comprise entre ]3,10;3,11[ je ne vois pas ou est cette valeur

Tu la trouves

en calculant g(3,10) tu dois trouver un nombre négatif

en calculant g(3,11) tu dois trouver un nombre positif

donc la racine a est comprise entre 3,10 et 3,11

la question suivante me demande de déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x comment je dois faire?

eh bien tu sais (à lire sur le tableau de variation

que g(a) = 0

que si x < a , alors g(x) est de quel signe ?

que si x > a , alors g(x) est de quel signe ?

ok merci beaucoup j'ai pu finir mon exercice garce a vous mais mainetnant un autre exercice me bloque.j'ai la fonction h(x)=2x³-3x²-12x et je dois démontrer que l'equation h(x)=8 a une solution unique or avec ma calculatrice je trouve que la courbe coupe deux fois l'axe des abscisses.que dois je faire?

salut

vérifie ! par exemple avec les variations de h : tu calcules sa dérivée et tu regardes si elle garde ou pas un signe constant.

j'ai fait les variations et je trouve qu'elle est positive sur -∞;-1 ∪ 2;+∞ et négative sur -1;2 mais a quoi ça me sert

donc elle n'est pas toujours croissante... as-tu déterminé ses extrémums ?

(je sais qu'on devrait dire "extrema", mais je n'y arrive pas !)

oui elle a un maximum de 7 et un minimum de-20

Avec Graphcalc, j'obtiens ceci, qui montre bien qu'il n'y a qu'une seule solution pour 2x^3 - 3x^2 - 12x = 8

Avec ton max local de 7, tu peux conclure.

je suis désolé je ne vois pas du tout ou vous voulez en venir

c'est bien h(x) = 8 qu'il te faut regarder ?

alors ta fonction étant presque partout inférieure à 7, elle ne prend la valeur 7 qu'une seule fois, entre la plus grande racine de sa dérivée et +∞, car h est strictement croissante sur cet intervalle et passe clairement par des valeurs moindres que 8 et d'autres dépassant 8.