Calcul de la dérivée d'une fonction et tableau de variations

Bonjour,

Voici mon exercice :

Partie A - Etude préliminaire

On donne la fonction f définie sur [0;1] par :

f(x) = (x) / (1+x)

Etudiez le sens de variation de f
Dresses son tableau de variation.
Démontrez que si 0 < x <1/10, alors
0 < f(x) < 1/11

Partie B- Achat d'essence

1.a) Le prix d'un litre d'essence est p (p est exprimé en euros). Quel est le volume V1 du carburant acheté pour 100€ ?
b) Le prix du litre d'essence a augmenté de 25% par rapport à p. Quel est le volume V2 du carburant acheté pour 100€ ?
c) Calculez V2/V1 et vérifiez que le pourcentage de diminution de volume du carburant acheté est 20%.

Plus généralement, démontrez que si le prix augmente de t%, alors le volume baisse de n% avec :

n = (100t) / (100 + t)
On pose x = t/100 et y = n/100. Expimez y en fonction de x.

On suppose que l'augmentation du prix du litre de carburant est inférieure à 10%, c'est-à-dire que 0 < x < 0,1.

A-t-on raison de dire que la diminution de volume de carburant acheté en résultant est inférieure à 10% ? Justifiez votre réponse.

Partie A :

Il faut étudier la dérivée de f, puis la poser = 0.
Est-ce bien cela ?
Il faut à priori que j'utilise le théorème de la valeur intermédiaire, mais je ne vois pas quoi

Pour 1, la dérivée n'est pas indispensable : avec
f(x) = (x) / (1+x) = 1 - 1/(1+x)
un TES peut voir de suite la croissance.

Pour 2 : tu n'y es pas du tout ; utilise simplement la croissance de f.

Je suis arrivé au 1].
Par contre, pour le 2, on voit d'après le tableau de variation que sur [0;1] f est croissante., donc 0 < x < 1/10

Aussi, f(0) < f(x) < f(1/11), car on sait que f(0) = 0 f(1) = 0,5 et f(1/11) = 0.83

mais je n'en suis vraiment pas sur du tout.

Par contre, pour la 3 (partie B), je bloque aussi, le reste j'y suis arrivé

Salut.

J'ai faillit dire parfait en lisant le début de ton raisonnement. Je le reprends en corrigeant les fautes:

0 < x < 1/10
Or f est croissante sur [0;1], donc en particulier sur [0;1/10].
Alors f(0) < f(x) < f(1/10).

Pourquoi as-tu écrit f(1/11) ?
Maintenant remplace f(0) et f(1/10) par leurs valeurs dans l'inégalité en valeurs exactes(!), c'est-à-dire sous forme fractionnaire. Que remarques-tu ?

@+

Salut.

Pour B.3), en effectuant le même raisonnement (que l'on appelle raisonnement par encadrements), encadre y.

"La diminution de volume est inférieure à 10%" doit signifier que 0 < y ≤ 10% j'imagine.

@+

Je n'avais pas vu tes messages, mais j'y étais arrivé.
merci qd meme