problème pour résoudre un exercice des olympiades

coucou

voila la sujet:

on consodère la fonction f sur I=[0;pi] par f(x)= (x/(x+ pi))- cos x.
demontrez que l'équation f(x)=0 admet une unique solution Xo sur [0;pi]

2)sur la terre supposée sphérique, de rayon R, un voyageur quitte un point de l'équateur, parcourt RXo km vers le nord, puis RXo km vers l'est, RXo km vers le sud et enfin RXo km vers l'ouest.
situez le point d'arivée par raport au point de départ.

s'il vous plait!!!! si vous savez résoudre ce problème dites moi le!!!!! parce que je comence a !!! lol

merci beaucoup d'avance!!!!!!

Bonjour et bienvenue sur ce forum ....

tu as dû lire un peu partout qu'il était souhaitable de donner un titre qui ait une signification ..... de l'aide .... on est là pour en donner .... des DM de maths c'est ce qu'on est censé résoudre ...
Alors grâce au bouton "Modifier" qui est sous ton message initial tu peux modifier ton titre..
on demande aux poseurs de questions de ne pas utiliser d'abrévaitions SMS ... donc en modifiant ton titre, tu en profiteras pour rédiger tes questions dans un français correct.

A plus

c'est bon ç(s)a va mieux comme ç(s)a?? désolé je savais(é) pas..

Edit Zorro .... tu considères que cette dernière phrase est rédigée sans avréviations SMS !?!
Tu souhaites vraiment de l'aide ? Alors fais un énorme effort ...

j'ai commencé par faire f(x)=0

donc ça fait: (x÷(x+pi)-cosx=0

j'ai pensé à mettre sous le même dénominateur mé je tombe sur

(x-(cosx(x+pi))÷(x+pi)=0

et la je suis bloqué, je ne sait pas comment faire

Et tu considères que cette réponse est écrite sans abréviations SMS ni fautes de conjugaisons ?

La fonction dont tu parles est elle celle-ci ?

$\frac{x}{x,+,\pi} ,-, \text{cos}(x)$

oui c'est cette fonction. désolé mais je ne suis pas trés forte en orthographe!!! c'est pour cela que je suis en S!!

coucou
cela n'a rien a voir... si tu es en S seulement parce que tu as des difficultés en orthographe ... il est vain de croire que le fait de faire des matières scientifiques te dispense d'améliorer ton orthographe car tu vas devoir forcément rédiger un minimum tes réponses; plus tard faire des comptes rendus... bref c'est important
bon alors revenons a ton problème
je suggère d'étudier les variations de ta fonction
dérivée ...

ok merci. donc je dérive f(x) et je trouve (pi / (x+pi)²) + sin(x). C'est ça?

oui c'est ça maintenant tu regardes le signe en fonction de ton ensemble de définition

ok merci mais comment on fait pour étudier le signe du sin(x) sur [0;pi]? parce que le pi/(x+pi)² c'est positif mais comment on fait pour ajouter le sinus?

tu ne connais pas ton cercle trigo lol regarde sur ton cercle ... sur l'intervalle [O;π] le sinus est positif

mais je le savais...... lol

merci beaucoup!!

Et aprés a partir de la comment je trouve l'unique solution de f(x)?

tu calcules les limites en 0 et π de la fonction qui est, je le rappelle, strictement croissante.
alors tu trouves ...

pour calculé la limite en 0 et pi on fé (f(a+h)-f(a)) / h c'est ça?

nan nan c'est bon tu fais direct f(0) et f $p i$

ok d'accord mais j'ai pas compri pourquoi on doit faire f $p i$ ?
pour f(0) sa fait 1/pi donc c'est ça Xo?

pour f(0) je trouve -1 et pour f ( pi ) je trouve pi/2 +1
dis moi déjà si tu trouves comme moi

oui je trouve pareil que vous. Je trouvai pas pareil parce que j'ai fait f '(0). lol

a bon ok donc maitenant tu es d'accord que 0 appartient
à ]-1;pi/2 +1[ donc vu que la fonction est strictement croissante il ne peut y avoir qu'un seul point pour qui f(x) = 0 ... on ne te demande pas de la calculer que je sache en plus

demontrez que l'équation f(x)=0 admet une unique solution Xo sur [0;pi]
donc voilà c'est fait

d'accord merci beaucoup.
et pour l'autre question on fait comment?

s'il vous plait vous pouvez m'aider??

oui hum je vais surment sortir n'importe quoi mais si tu fais le même nombre de km en allant au nord a l'est au sud puis à l'ouest tu retombes au point de départ nan??
on ne te donne aucun indice pour trouver le rapport entre ta fonction et cette histoire de promenade sur la Terre ???

non on ne me dit que ça...

Salut.

Tout d'abord un petit dessin :

inaccessible

Bien, on peut commencer.

Que se passe-t-il lors de notre déplacement ?

On part de l'équateur (le cercle rouge). On se déplace sur un cercle de rayon R vers le nord de $RX_0$ (arc de cercle vert). Ensuite, on se déplace sur un cercle de rayon plus petit (le cercle bleu) de $RX_0$ vers l'est (arc de cerce bleu foncé). Puis, on redescend vers l'équateur (je n'ai pas coloré le trajet, mais on se retrouve à droite de l'arc de cercle violet), et on repart vers l'est de $RX_0$ (arc violet).

Que remarque-t-on ?

Quand on effectue un déplacement nord-sud, on se déplace sur des cercles de même rayon, donc tout va bien, on retombe sur l'équateur. Mais lors des déplacements est-ouest, les cercles ne sont pas de même rayon ! Donc on "tourne" plus sur le cercle au nord (le cercle bleu), ce qui fait que l'on ne retombe pas au point de départ !

Le but va donc être de déterminer la différence entre les deux déplacements.

Pour cela, dans un premier temps, on va calculer le rayon du petit cercle.
Quand on se déplace vers le nord ou vers le sud, en appelant O le centre de la Terre, on remarque que l'angle PÔM vaut $X_0$ (quand on tourne de $2π2\pi$ , on se déplace de $\text{2\pi r}$, et quand on tourne de (?), on se déplace de $RX_0$ ; au moyen d'une petite règle de trois ou par proportionnalité on en déduit le résultat ). Grâce à 2 angles alterne-internes, à un triangle rectangle et à un peu de trigonométrie, on en déduit que le rayon du petit cercle est donc $Rcos(X_0$ ). Il suffit de regarder le dessin pour suivre où j'en suis.

Maintenant, on va calculer de quel angle on tourne quand on se déplace de $RX_0$ sur l'équateur (cercle rouge), et sur le petit méridien (cercle bleu). Encore une fois un peu de proportionnalité nous tirera d'affaire. Pour le cercle rouge, c'est déjà fait (cf. plus haut), l'angle violet vaut $X_0$ . En ce qui concerne le cercle bleu, je détaille le calcul cette fois-ci :

$\text{2\pi \leftrightarrow 2\pi rcos(x_0)}$
$\text{(?) \leftrightarrow rx_0}$
Ce qui fournit l'égalité (par proportionnalité) : $\text{\frac{2\pi rcos(x_0)}{rx_0} = \frac{2\pi}{(?)}}$.
D'où une rotation d'angle $\text{(?) = \frac{x_0}{\cos(x_0)}}$ (angle bleu foncé). Il est plus grand que $X_0$ . Ouf ! C'est ce que l'on intuitait.

A partir de là, on fait la différence entre les deux angles trouvés afin de savoir de quel angle on a roté depuis la position initiale en P.

Enfin, on calcule de combien on s'est déplacé par rapport à la position initiale.

Une fois de plus, c'est de la proportionnalité, mais je vous laisse effectuer les calculs.

N.B. : On aurait aussi pu se ramener à un cercle de rayon 1 et à la fin multiplier le tout par R pour éviter de se le trimballer pendant les calculs. Chose que l'on peut effectuer grâce à de la... proportionnalité.

@+

merci beaucoup a tout les deux vous m'avez beaucoup aidé c'est très gentil de votre part!!!! cet exercice ma permi d'avoir un 18 sa fait plaisir!!!

cool ^^