Résoudre des problèmes de trigonométrie


  • W

    bonjour à tous.
    J'ai besoin d'un petit peu t'aide pour certaines questions de mon dm je vous met ce que je ne comprend pas.

    Exo n1:
    la derniére question c'est de démontrer que 3points sont alignés(D,E,F) et aupâravant j'ai trouver que (DF;DE)est égale à 0[2pipipi]. Il suffit que je dis vu que l'angle est égale à 0alors ces 3points sont forcément alignés?

    Exo n2:
    1/ soit x E mathbbRmathbb{R}mathbbR tel que 3cos(x)+4sin(x)=5, déterminer cos(x) et sin(x). Je ne vois pas comment je peux faire vu qu'il y a le 3 et le 4 en facteur de cos(x) et sin(x). Si quelqu'un peut m'aider car je ne peux pas faire la suite de l'exercice sans la question n°1 .

    Merci d'avance


  • Zorro

    Bonjour,

    Pour l'exo 1 ça va.

    Pour le 2 je regarde et je reviens.

    P.S. Essaye de faire un effort en orthographe, en particulier pour les conjugaisons !
    Regarde un peu ce site http://www.leco.../frindex.php


  • W

    oui dsl j'ai écrit vite je ferais attention.

    oki je t'attends 🙂


  • Zorro

    Une idée :

    en posant t = tan(a) on a les formules suivantes :

    cos(2a),=,1−t21+t2\text{cos}(2a) ,=, \frac{1-t^2}{ 1+t^2}cos(2a),=,1+t21t2

    sin(2a),=,2t1+t2\text{sin}(2a) ,=, \frac{2t}{ 1+t^2}sin(2a),=,1+t22t

    En posant donc 2a = x et en faisant les remplacements adéquats tu vas tomber sur une équation avec t comme inconnue.


  • W

    heu alors j'ai rien compris on n'a pas du tout vu ça en cours... A mon avis il faut remplacer le cos x par sin x ou le contraire pour avoir que des sin x par exemple
    pour remplacer cos x par sin x on utilise : cos(pipipi/2 - x) = sin x
    mais aprés je suis bloqué avec les nombres 3 et 4


  • W

    ou peut etre que ça ferait ça ...

    3cos (x) +4 cos(pipipi/2 - x)=5
    cos(3x)+cos(2pipipi-x)=5
    mais apres je fais comment?


  • Zorro

    Bin si tu remplaces sin(x) par cos(π/2 - x) tu arrives donc à

    3cos(x) + 4cos(π/2 - x) = 5

    quand tu vas développer cos(π/2 - x) = cos(π/2)cos(x) + sin(π/2)sin(x) tu vas refaire apparaitre sin(x).

    Je ne vois pour l'instant que ma première idée !


  • Zorro

    Oh lala .... ta réponse de 17h24 c'est du n'importe quoi !!!

    2cos(a) n'a rien à voir avec cos(2a) ..... etc ...


  • W

    oki mai à partir de ça 3cos(x) + 4cos(π/2 - x) = 5
    mais aprés quand vous dites développé le cos (n/2 - x) je ne comprend pas


  • Zorro

    Une autre idée : on divise tout par √(9 + 16) = 5

    donc on arrive à 3/5 cos(x) + 4/5 sin(x) = 1

    or on a bien (3/5)² + (4/5)² = 1 donc on a le droit d'écrire

    qu'il exite un réel a tel que 3/5 = sin(a) et 4/5 = cos(a)

    on arrive à sin(a) cos(x) + cos(a) sin(x) = 1

    soit sin(a+x) = 1 donc a+x = π/2 + 2kπ donc x = - a + π/2 + 2kπ

    Il ne reste plus qu'à trouver le a tel que sin(a) = 3/5 et cos(a) = 4/5


  • W

    je vois pas du tout je comprend rien 😢 jsuis perdu à partir de là

    soit sin(a+x) = 1 donc a+x = π/2 + 2kπ donc x = - a + π/2 + 2kπ

    Il ne reste plus qu'à trouver le a tel que sin(a) = 3/5 et cos(a) = 4/5


  • M

    tu ne comprends pas quoi ??
    regarde bien ton cercle trigo on a bien 1 pour pi/2
    dis nous exactement ce que tu ne comprends pas


  • W

    en fait je ne compren pas pk la on arrive à sin(a+x)


  • Zorro

    Bon on oublie tout ce que je t'ai écrit .... j'ai mal lu l'énoncé ....

    Il ne faut pas résoudre l'équation, ce que j'essayais de faire ! Il faut donner la valeur de sin(x) et cos(x)

    Appelons X = cos(x) et Y = sin(x)

    Donc il faut trouver 2 réel X et Y tels

    X2X^2X2 + Y2Y^2Y2 = 1
    3X + 4 Y = 5

    de la première équation on obtient que y,=,1−x2y,=,\sqrt{1-x^2}y,=,1x2

    de la seconde on obtient y,=,5−3x4y,=,\frac{5 - 3x}{4}y,=,453x

    On doit donc résoudre 5−3x4,=,1−x2\frac{5 - 3x}{4},=,\sqrt{1-x^2}453x,=,1x2

    On a donc une équation dont le terme de droite (à droite du signe = ) est une racine carrée donc on élève les 2 termes de l'égalité au carré ;
    on a le droit parce que si a = b alors a2a^2a2 = b2b^2b2

    Il faut donc maintenant calculer (5−3x4)2\left( {\frac{5 - 3x}{4}} \right)^2(453x)2
    et (1−x2)2\left( \sqrt{1-x^2}\right)^2(1x2)2

    cela ne devrait pas poser trop de problèmes .... et tu dois tomber sur l'équation :

    25X225X^225X2 - 30X + 9 = 0

    Cette équation a une seule solution X = 0,6

    donc Y = 0,8

    et voilà .... cos(x) = 0,6 et sin(x) = 0,8

    P.S Si j'ai un peu de temps je modifierai cette réponse avec des formules en LaTeX


  • W

    en faite on fait un changement d'inconnu ce qui nous donne le systeme
    X² + Y² = 1=>Y = √(1-X²)
    3X + 4 Y = 5=>Y = (5 - 3X)/4

    donc on garde une équation avec X et Y et on résoud celle avec les X
    3X + 4 Y = 5
    (5 - 3X)/4 = √(1-X²)
    Par contre pour résoudre la deuxieme equation je ne vois pas comment vous arrivez à une équation du second degré.
    X²+ Y² = 1=>Y = √(1-X²)
    par contre pour celle ci, il y a que le 1 qui est en racine non? ce qui fait √1-X² =1-X² non?
    ou si c'est votre résultat qui est bon √(1-X²) c'est pareil d'écrire 1-X?


  • W

    moi je ne trouve pas l'équation du second degré:

    (5 - 3X)/4 = √(1-X²)
    (5 - 3X)/4 = 1-X
    5-3X=4-4X
    4X-3X=4-5
    X=-1

    on remplace dans la premiere equation pour trouver Y
    -3+4Y=5
    4Y=8
    Y=2

    ça ne vas pas ça?


  • Zorro

    non

    (sqrt1−x2)2(sqrt{1-x^2})^2(sqrt1x2)2 n'est pas égal à 1-X
    et

    (3x−45)2(\frac{3x-4}{5})^2(53x4)2 n'est pas égal à 3x−45\frac{3x-4}{5}53x4


  • W

    mais pk vous l'éléver au carré?


  • Zorro

    Pour faire disparaître le √


  • W

    je sais je ne l'ai pas élever au carré.

    En élevant au carré ça ferait:

    25/16-30X/4+9X²/16=1-2X²+X^4


  • Zorro

    Bon on se calme ... tu me laisses le temps de mettre ma réponse avec des expressions en LaTeX et peut-être que tu comprendras mieux ce que j'ai écrit .....


  • W

    ok


  • Zorro

    Tu peux aussi vérifier que 30,6 + 40,8 = 5


  • W

    oui j'ai vérifié

    25/16-30X/4+9X²/16=1-2X²+X²
    Mais je ne trouve pas votre équation ci dessous

    25X2 - 30X + 9 = 0


  • Zorro

    bon je crois qu'il y a une erreur gravissime sur le calcul de

    (1−x2)2\left( \sqrt{1-x^2}\right)^2(1x2)2

    (a)2=\left( \sqrt{a}\right)^2 =(a)2= ???? (niveau = 3ème)


  • W

    ben la racine s'élimine avec le carré ... ce qui donne x?


  • Zorro

    donc tu as écrit n'importe quoi quand tu m'annonçais à 21h34 1-2X²+X² pour le carré du membre de droite ....

    Bon maintenant que tu sais tout je vais te laisser faire les calculs nécessaires et trouver la bonne équation avec les bonnes solutions 0,6 et 0,8


  • W

    vous vous etes pas trompé? ce ne serait pas plutot 25X²+2X+9=0?


  • M

    nan nan je trouve bien le -30X ...

    reposte moi ton calcul pour que je vérifie ou tu t'es trompé


  • W

    (25-30X+9X²)/16=1-2X-X²
    (25-30X+9X²)/16=(16-32X-16X²)/16
    25-30X+9X²=16-32X-16X²
    25-30X+9X²-16+32X+16X²=0
    25X²+2X+9=0


  • M

    oui alors je vois ton erreur comme le disais Zorro tu n'arrives pas à mettre au carré

    1−x2\sqrt{1-x^2}1x2
    je pese qu'il y a une confusion

    si tu avais eu (1−x2)2(1-x^2)^2(1x2)2 alors là oui tu aurais eu 1-2X²+X^4
    il y avait d'ailleurs une faute lol

    mais nous on a $(\sqrt{\tex{machin truc}})^2 = \tex{machin truc}$

    quand tu fais

    (2)2c’est2×2=2(\sqrt{2})^2 \text{c'est} \sqrt{2}\times \sqrt{2} = 2(2)2c’est2×2=2

    2+1c’est2+1×2+1=2+1\sqrt{2+1} \text{c'est} \sqrt{2+1} \times \sqrt{2+1} = 2+12+1c’est2+1×2+1=2+1


  • W

    a oui exact c'est bon merci j'ai réussi à retrouver 0.60 ainsi que 0.80 pour Y.

    Pour la seconde question soit x E R a b c 3 nombres réels non nul tel que a sin(x) +b cos(x) =c
    montrer que sin(x)=(c-bcos(x))/a

    En nombre a b c je repren les nbres d'au dessus c'est a dire
    a=3
    b=4
    c=5?
    ce qui fait
    3cos(x)+4sin(x)=5
    sin(x)=(5-4X 0.6)/3
    =0.86
    ce qui montre que c'est bien égale au sinus vu qu'on a trouvé sin(x)=0.8?

    b/en déuire que (a²+b²)cos²(x)-2bccos(x)+c²-a²=0

    alors:

    (3²+4²)X 0.6²-2X3X4X 0.6+5²-3²

    (3²+4²)ça c'est égale à (3+4)(3-4)?


  • M

    si la question c'est ça

    ""Pour la seconde question soit x E R a b c 3 nombres réels non nul tel que
    a sin(x) +b cos(x) =c
    montrer que sin(x)=(c-bcos(x))/a""

    pas besoin de changer les a ; b ; c en des valeurs numériques ....


  • W

    donc je laisse la relation comme ça.

    Par contre pour la b je dois remplacer .
    b/en déuire que (a²+b²)cos²(x)-2bccos(x)+c²-a²=0

    alors:

    (3²+4²)X 0.6²-2X3X4X 0.6+5²-3²

    (3²+4²)ça c'est égale à (3+4)(3-4)?


  • M

    ba nan si la question c'est

    b/en déuire que (a²+b²)cos²(x)-2bccos(x)+c²-a²=0

    tu utilises
    a sin(x) +b cos(x) =c

    et sin(x)=(c-bcos(x))/a

    tu tripatouilles le tout et tu dois tomber sur

    (a²+b²)cos²(x)-2bccos(x)+c²-a²=0

    je ne l'ai pas fait encore mais quand on te donne des lettres dans la question tu restes avec les lettres sauf si on te dit "en remplaçant a ; b ; c par ..."

    ok ??
    je vais faire ton truc pour voir
    mais peut être pas maintenant ...


  • W

    d'accord je vais essayer merci beaucoup


  • M

    oui alors il faut utiliser plus que ce que je t'ai donné mais je suis sûre qu'on ne doit pas utliser les valeurs numériques ...je regarde


  • W

    oui je vérifierais en demandant au prof lundi étant donné que je dois le rendre mardi 🙂


  • M

    oui alors c'est bien ce que je pensais on peut le trouver sans les valeurs numériques

    a sin(x) +b cos(x) =c

    a sin (x) = c - b cos (x)

    (a sin (x) )² = ( c - b cos (x) )²

    a² sin² (x) = c² - 2bc cos (x ) + b²cos² (x)

    a²(1- cos² (x) ) = c² - 2bc cos (x ) + b²cos² (x)

    a²- a² cos²(x) = c² - 2bc cos (x ) + b²cos² (x)

    je te laisse finir c'est facil maintenant

    pas besoin de nombres tu vois ??


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