Fonction



  • Boujour tout le monde,
    Voila un exercice qui me pose problème donc le voit-ci :

    On cherche une fonction f telle que, pour tous x et y de son ensemble de définition on ait
    (R) : f(xy) = f(x) +f(y)

    I. Un cas trivial
    1°) Si f est définie en 0, en appliquant (R) à x = y = 0 déterminer f(0),
    2°) En appliquant (R) avec y = 0. déterminer f(x) pour tout x réel.
    3°) Quelle fonction f obtient-on ?
    4°) Vérifie-t elle bien la relation (R) ?
    5°) Semble-t-elle pertinente?



  • coucou
    alors je te dis comment je vois le truc
    f(xy) = f(x) +f(y)

    on a x=y=0

    donc f(0*0) = f(0) + f(0)

    f(0)= 2 f(0)

    donc f(0 ) = 0

    ok ?



  • ok pour le 1°) mais le 2°) sa ferait
    f(x*0) = f(x) + f(0)
    f(x)=? =0?



  • oula
    j'ai un scoop pour toi

    0*toute la terre = 0



  • ba oui, je suis tout a fais d'accord, mais c'est que je trouve sa bizar car sa donne le même resultat qu'au 1°) donc on peut pas en déduire la fonction f pour la 3°)



  • ba je dirais f(x) = 0

    c'est bien comme résultat



  • L'exercice comporte une 2ème partie, je pense qu'elle met en jeu les logarithmes népériens. Voila la 2ème partie :

    1. Une solution plus intéressante
      On supposera donc dorénavant que f n’est pas définie
      en 0. Plus précisément, on cherche une fonction f
      définie et dérivable sur ]o ; +∞[ qui vérifie,(R)
      a. En appliquant (R) 1 = x = y. déterminer f(1)
      b. Fixons un réel a> O
      Quelle est la dérivée :
      • de la fonction qui à x associe f(a) ?
      • de la fonction qui à x associe f(x) + f(a) ?
      • de la fonction qui à x associe f(ax) ?
      c. En déduire que si f vérifie (R). pour tout x> o.
      f’(ax)=1/a, puis que f’(a)=k/a, k constante.
      d. Que peut-on en déduire pour la onction f ?

    Donc si on utilise ln() pour le a. car définie derivable sur ]0;+∞[ sa nous donne :
    f(1*1)=ln1 + ln1=0
    mais ensuite pour la suite je voie pas?



  • re
    a est un réel ; f(a) est un réel donc la dérivée d'un réel c'est 0
    en fait pour tout x de ton intervalle tu as toujours f(a) c'est une constante donc dérivée nulle ok ?!
    c'est comme ça que je vois le truc



  • je suis encore tout ta fait d'accord mais dans la suite de l'exercice il demande d'en deduire que f'(a)=k/a ,k constante. Donc il faudrait que k=0, je trouve sa inutile.
    Donc pour le 1er point sa serait :
    f'(a)=0
    pour le 2eme point :
    f'(x)+f'(a)=1/x+0=1/x
    pour le 3eme point :
    f'(ax)=(1/x)a+x0=a/x

    Mais ces résultats ne correspondent pas au petit c.


 

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