Montrer qu'une fonction est continue et croissante et donner un encadrement

Bonjour à tous et à toutes.

Dans le cadre de mon exercice, une fonction G m'est donnée :
G(x) = x³-0.6x²+0.6x
G est définie sur [0;1]

Je dois démontrer que:

G est continue et strictement croissante sur [0;1]
Pour tout x ∈ [0;1], 0 ≤ G(x) ≤ x

Pour le 1), j'ai calculé la dérivée qui me donnerai : G'(x) = 3x²-1.2x+0.6
Je tente, ensuite, de déterminer le signe de cette expression, en calculant Delta.
Cependant Delta est négatif, c'est pourquoi j'aimerai en déduire que l'expression est du signe de a, soit a=3. Donc la dérivée serait strictement positive et la fonction strictement croissante. Est-ce correct d'un point de vue méthode ?

Pour le 2), je suis bloquée, de plus les mêmes questions me sont posées pour une autre fonction encore.
J'ai essayé de résoudre G(x) ≥ 0 puis x≥ G(x) mais je n'y arrive pas.
Pourriez-vous, svp, m'indiquer la marche à suivre pour aboutir à l'inéquation proposée.

Merci d'avance.

Salut.

Parfait.
Si G est croissante sur [0;1], alors pour tout x de [0;1], G(x)≥G(0). D'accord ? Ce qui résout une partie de la question.

Ensuite une manière de faire serait de montrer que la fonction H(x)=G(x)-x soit négative sur [0;1]. Comprends-tu pourquoi ?

@+

A peu près, car pour résoudre l'autre "branche" de l'inéquation, je résouds en fait, H(x) ≤ 0 .
Mon problème est aussi de trouver le signe de H(x), je ferai : un tableau de signe, mais auparavant je factorise par x ?

Ce qui donnerai: ×³-0.6×²-0.4× et sous forme factorisée: x ( x²-0.6x-0.4)
Je procède à un tableau de signe, sachant que pour x²-0.6x-0.4 j'utilise delta.
Celui-ci me donne: 1.96. Donc la première solution x1 est : 1 et x2: - 0.4.
L'expression est donc du signe de a=1, sauf entre ses racines.
Au final, je trouve que l'expression est négative sur [0;1].

Je suis quasi-sûre de cela, où est donc le problème svp?

De plus, que déduire de ce résultat?

Pour moi si l'espression est négative, cela résoud mon problème, non?

Merci d'avance

Salut.

Ah oui, il restait à montrer la continuité. G est un polynôme donc est continue, et c'est fini.
Oui le problème est résolu, il n'y a donc plus de problème.

On a donc H(x)=G(x)-x≤0, donc G(x)≤x sur [0;1].

@+

P.S. : effectivement j'avais écrit "positive" au lieu de "négative", ce qui était une erreur. Que tu l'aies remarquée montre que tu as compris.

Merci beaucoup pour l'aide.

Bonne après-midi.