Exercice sur les Suites



  • Bonjour,
    J'ai un petit problème avec un exercice sur les suites, voici l'énoncé :

    Dans le plan muni d'un repère orthonormal ( O, i , j ), on donne les points A( 1; -1) et B( 5;3 ). On considère la suite de points (Gn(G_n) définie par le point GoG_o en O et, pour n≥1, GnG_n est le barycentre des points pondérés (Gn1(G_{n-1} ; 2) , (A; 1) et (B; 1). On note ( XnX_n ; YnY_n ) les coordonnées de GnG_n.

    1. Calculer les coordonnées de G1G_1, G2G_2 et G3G_3. Placer ces points et montrer qu'ils sont alignés.
    2. Prouver que pour tout n de mathbbNmathbb{N} , Gn+1G_{n+1} est l'image de GnG_n par une homothétie que l'on caractérisera par son centre et son rapport.
    3. Justifier que, pour tout n de mathbbNmathbb{N} , Xn+1X_{n+1}= (1/2)Xn(1/2)X_n + 3/2.

    Pour la première question, j'ai calculé les coordonnées de G1G_1 , G2G_2 et G3G_3 en utilisant les formules : xGx_G=( αxAx_A + βxBx_B ) / α + β et yGy_G= ( αyAy_A + βyBy_B ) / α +β .
    J'ai alors trouvé que G1G_1(3/2 ; 1/2) , G2G_2(9/4 ; 3/4 ) et G3G_3(21/4 ; 7/4).
    Mais je n'arrive pas à montrer qu'il sont alignés et je ne comprends pas comment faire pour les questions 2 et 3.
    Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?
    merci 😄



  • Bonjour,

    Pour montrer qu'ils sont alignés il suffit de montrer par exemple qu'il existe un réel k tel que

    GG_1GG_2^\rightarrow = kGkG_1GG_3^\rightarrow

    En regardant comment sont les points G0G_0 , G1G_1 , G2G_2 , G3G_3 ... tu n'as pas une petite idée sur le centre de l'homothétie ? Il ne reste plus qu'à démontrer que ton idée est la bonne

    La 3 en découlera .


 

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